se
\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{a_{n}}{b_{n}}\right]=\frac{\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}}{\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}} \quad se \quad \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n} \neq 0

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • São dadas duas sequências \{a_n\} e \{b_n\} com limites \lim_{n\to\infty} a_n = A,\qquad \lim_{n\to\infty} b_n = B.
  • Está assumido que B \neq 0.
  • O objetivo é mostrar que \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}.

Passo 2

Lembrando a definição (a ferramenta que vamos usar).
  • Por definição, \lim_{n\to\infty} a_n = A significa: para todo \varepsilon>0 existe N_a tal que, para todo n\ge N_a, |a_n-A|<\varepsilon.
  • De forma análoga, \lim_{n\to\infty} b_n = B significa: para todo \varepsilon>0 existe N_b tal que, para todo n\ge N_b, |b_n-B|<\varepsilon.
Essas desigualdades com \varepsilon são o que usamos para construir uma prova \varepsilon- N.

Passo 3

Garantir que os denominadores b_n não se aproximem de zero (isso usa B\neq 0).
Escolha \varepsilon_0=\dfrac{|B|}{2}>0. Pela definição do limite de b_n existe N_0 tal que, para todo n\ge N_0,
|b_n-B|<\frac{|B|}{2}.
Isto implica, para n\ge N_0,
|b_n|\ge |\,|B|-|b_n-B|\,| > |B|-\frac{|B|}{2}=\frac{|B|}{2}.
Logo, para n\ge N_0 tem-se a desigualdade útil
\frac{1}{|b_n|}\le \frac{2}{|B|}.

Passo 4

Transformar a diferença que queremos anular em formas que possamos estimar.
Considere a quantidade
\left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right|.
Fazendo manipulação algébrica (colocando o mesmo denominador):
\left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| =\left|\frac{a_nB-Ab_n}{b_nB}\right| =\frac{1}{|b_n||B|}\,\bigl|B(a_n-A)+A(B-b_n)\bigr|.
Usando desigualdade triangular e valores absolutos:
\left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| \le \frac{|B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B|}{|b_n||B|}.

Passo 5

Usar a estimativa do Passo 3 para simplificar o coeficiente \dfrac{1}{|b_n|}. Para n\ge N_0 temos \dfrac{1}{|b_n|}\le \dfrac{2}{|B|}. Assim, para n\ge N_0,
\left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| \le \frac{2}{|B|}\,|a_n-A|+\frac{2|A|}{|B|^{2}}\,|b_n-B|.
Este é o encadeamento chave: a diferença do quociente está bounded (controlada) por combinações das diferenças |a_n-A| e |b_n-B|, que sabemos tornar arbitrariamente pequenas.

Passo 6

Fechar a prova com o argumento \varepsilon- N. Seja \varepsilon>0. Queremos N tal que, para todo n\ge N,
\left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right|<\varepsilon.
Pelo Passo 5, é suficiente garantir simultaneamente
\frac{2}{|B|}\,|a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2} \qquad\text{e}\qquad \frac{2|A|}{|B|^{2}}\,|b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2},
além de n\ge N_0 (para poder usar \dfrac{1}{|b_n|}\le\dfrac{2}{|B|}). Agora usamos os limites de a_n e b_n:
  • Como \lim a_n=A, existe N_1 tal que, para todo n\ge N_1,
    |a_n-A|<\frac{\varepsilon|B|}{4},
    o que garante \dfrac{2}{|B|}|a_n-A|<\varepsilon/2.
  • Se A\neq 0: como \lim b_n=B, existe N_2 tal que, para todo n\ge N_2,
    |b_n-B|<\frac{\varepsilon|B|^{2}}{4|A|},
    o que garante \dfrac{2|A|}{|B|^{2}}|b_n-B|<\varepsilon/2.
    Se A=0: então a segunda parcela é zero e não é necessário escolher N_2 (pode tomar N_2=N_0).
Escolha então
N=\max\{N_0,N_1,N_2\}.
Para todo n\ge N temos ambas desigualdades e, portanto,
\left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.
Isso prova que \dfrac{a_n}{b_n} converge para \dfrac{A}{B}.

Passo 7

Resumo intuitivo e um exemplo rapidinho.
  • Intuitivamente: se a_n se aproxima de A e b_n se aproxima de B\neq 0, então a razão a_n/b_n se comporta como A/B para grandes n. Precisamos apenas garantir que b_n não fique muito perto de zero (para que a divisão faça sentido e não amplifique erros).
  • Exemplo numérico simples: se a_n=1+\tfrac{1}{n} e b_n=2+\tfrac{1}{n} então A=1, B=2\neq 0 e de fato \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim_{n\to\infty}a_n}{\lim_{n\to\infty}b_n} se \displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n\neq 0.

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