São dadas duas sequências \{a_n\} e \{b_n\} com limites\lim_{n\to\infty} a_n = A,\qquad \lim_{n\to\infty} b_n = B.
Está assumido que B \neq 0.
O objetivo é mostrar que\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}.
Passo 2
Lembrando a definição (a ferramenta que vamos usar).
Por definição, \lim_{n\to\infty} a_n = A significa: para todo \varepsilon>0 existe N_a tal que, para todo n\ge N_a,|a_n-A|<\varepsilon.
De forma análoga, \lim_{n\to\infty} b_n = B significa: para todo \varepsilon>0 existe N_b tal que, para todo n\ge N_b,|b_n-B|<\varepsilon.
Essas desigualdades com \varepsilon são o que usamos para construir uma prova \varepsilon-N.
Passo 3
Garantir que os denominadores b_n não se aproximem de zero (isso usa B\neq 0).
Escolha \varepsilon_0=\dfrac{|B|}{2}>0. Pela definição do limite de b_n existe N_0 tal que, para todo n\ge N_0,
Usar a estimativa do Passo 3 para simplificar o coeficiente \dfrac{1}{|b_n|}. Para n\ge N_0 temos \dfrac{1}{|b_n|}\le \dfrac{2}{|B|}. Assim, para n\ge N_0,
Este é o encadeamento chave: a diferença do quociente está bounded (controlada) por combinações das diferenças |a_n-A| e |b_n-B|, que sabemos tornar arbitrariamente pequenas.
Passo 6
Fechar a prova com o argumento \varepsilon-N. Seja \varepsilon>0. Queremos N tal que, para todo n\ge N,
Isso prova que \dfrac{a_n}{b_n} converge para \dfrac{A}{B}.
Passo 7
Resumo intuitivo e um exemplo rapidinho.
Intuitivamente: se a_n se aproxima de A e b_n se aproxima de B\neq 0, então a razão a_n/b_n se comporta como A/B para grandes n. Precisamos apenas garantir que b_n não fique muito perto de zero (para que a divisão faça sentido e não amplifique erros).
Exemplo numérico simples: se a_n=1+\tfrac{1}{n} e b_n=2+\tfrac{1}{n} então A=1, B=2\neq 0 e de fato\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{1}{2}.
Resposta
\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim_{n\to\infty}a_n}{\lim_{n\to\infty}b_n} se \displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n\neq 0.