Exercício 8 Use os conceitos de dependência e independência linear para mostrar que um sistema linear homogêneo
com
equaçôes e
incógnitas não é determinado se
. (Sugestão: verifique que os vetores cujas coordenadas são as colunas de A formam um conjunto l.d.)
Passo 1
Neste exercício queremos mostrar que, para o sistema homogêneo
com
equações e
incógnitas, se
então o sistema não é determinado (ou seja, tem infinitas soluções). Vamos usar o conceito de dependência linear das colunas de
.
Passo 2
Em teoria dos espaços vetoriais, um espaço de dimensão
(como
) não comporta mais de
vetores linearmente independentes. Logo, qualquer conjunto de
vetores em
é necessariamente linearmente dependente.
Passo 3
As colunas de
são
vetores
em
. Como
, existe uma combinação linear não trivial:
onde nem todos os escalares
Passo 4
Encontramos, portanto, uma solução não trivial para o sistema homogêneo. E como toda solução não trivial gera infinitas (basta multiplicá-la por qualquer escalar), o sistema não é determinado.
Resposta
Como
, o sistema homogêneo
possui solução não trivial e, consequentemente, infinitas soluções. Logo, não é determinado.