Exercício 8 Use os conceitos de dependência e independência linear para mostrar que um sistema linear homogêneo A x=0 com m equaçôes e n incógnitas não é determinado se n>m. (Sugestão: verifique que os vetores cujas coordenadas são as colunas de A formam um conjunto l.d.)

Passo 1

Neste exercício queremos mostrar que, para o sistema homogêneo A x = 0 com m equações e n incógnitas, se n>m então o sistema não é determinado (ou seja, tem infinitas soluções). Vamos usar o conceito de dependência linear das colunas de A.

Passo 2

Em teoria dos espaços vetoriais, um espaço de dimensão m (como R^m) não comporta mais de m vetores linearmente independentes. Logo, qualquer conjunto de n>m vetores em R^m é necessariamente linearmente dependente.

Passo 3

As colunas de A são n vetores v1,dots,vn em R^m. Como n>m, existe uma combinação linear não trivial:
x1 v1 + x2 v2 + cdots + xn vn = 0,
onde nem todos os escalares x1,dots,xn são zero. Esse fato equivale a dizer que há x=(x1,dots,xn)^Tneq 0 tal que A x=0.

Passo 4

Encontramos, portanto, uma solução não trivial para o sistema homogêneo. E como toda solução não trivial gera infinitas (basta multiplicá-la por qualquer escalar), o sistema não é determinado.

Resposta

Como n>m, o sistema homogêneo A x=0 possui solução não trivial e, consequentemente, infinitas soluções. Logo, não é determinado.

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