Beleza, vamos lá! Temos um problema envolvendo uma equação de onda que descreve como uma onda se propaga em uma corda ou meio semelhante. A equação que estamos lidando é:
utt = c^2 uxx
Aqui, $ u(x, t) $ representa a posição da onda no ponto $ x $ e no tempo $ t $. As condições de contorno são $ u(0, t) = A $ e $ u(L, t) = B $, e as condições iniciais são $ u(x, 0) = f(x) $ e $ u_{t}(x, 0) = g(x) $. Vamos usar o método de separação de variáveis para resolver esse problema. Vamos precisar dividir a solução em uma parte estacionária (que não depende do tempo) e uma parte que varia com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução estacionária $ u_s(x) $, que satisfaz a equação de onda quando não há variação no tempo, ou seja, $ u_{tt} = 0 $. Substituindo na equação:
us(x)
Isso simplifica para:
utt = 0
Integrando uma vez em relação a $ x $:
0 = c^2 uxx
Integrando novamente:
uxx = 0
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $:
Para $ x = 0 $:
x
Para $ x = L $:
ux = C1
Então, a solução estacionária é:
us(x) = C1 x + C2
Passo 3
Agora, vamos considerar a solução completa como a soma da solução estacionária $ u_s(x) $ e uma solução dinâmica $ v(x, t) $:
us(x)
Substituindo na equação original:
v(x, t)
Com condições de contorno homogêneas:
u(x, t) = us(x) + v(x, t)
E condições iniciais ajustadas:
vtt = c^2 vxx
Agora, podemos aplicar a separação de variáveis na equação homogênea para $ v(x, t) $.
Passo 4
Assumimos que $ v(x, t) $ pode ser escrita como o produto de funções de $ x $ e $ t $:
v(x, t)
Substituindo na equação de onda:
x
Dividindo ambos os lados por $ c^{2} X(x) T(t) $:
t
Onde $ \lambda $ é uma constante de separação. Isso leva a duas equações:
Para $ X(x) $:
v(x, t) = X(x) T(t)
Para $ T(t) $:
X(x) T''(t) = c^2 X''(x) T(t)
Passo 5
Resolvendo a equação para $ X(x) $ com as condições de contorno $ X(0) = X(L) = 0 $:
A solução é harmônica, portanto:
X(x)
Com $ \lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 $ para $ n = 1, 2, 3, \dots $
Agora, resolvemos a equação para $ T(t) $:
X(0) = X(L) = 0
Então, a solução para $ v(x, t) $ é uma soma de modos:
Xn(x) = sin(npi xL)
Passo 6
Finalmente, aplicamos as condições iniciais para determinar os coeficientes $ A_n $ e $ B_n $.
Usando $ v(x, 0) = f(x) - u_s(x) $:
An
E usando $ v_t(x, 0) = g(x) $:
Bn
Calculamos os coeficientes $ A_n $ e $ B_n $ usando a ortogonalidade das funções seno:
v(x, 0) = f(x) - us(x)
sumn=1^infty An sin(npi xL) = f(x) - (A + B - AL x)
Resposta
A solução completa do problema é dada por:
u(x, t) = A + B - AL x + sumn=1^infty [ An cos(npi c tL) + Bn sin(npi c tL) ] sin(npi xL)
onde os coeficientes $ A_n $ e $ B_n $ são calculados por:
An
Bn
Essa é a solução geral para o problema de valor inicial e de fronteira dado usando o método de separação de variáveis.