Utilize o Principio de Indução Finita para demonstrar as afirmaçōes
a^n-b^n=(a-b)(a^n-1+a^n-2 b+a^n-3 b^2+a^n-4 b^3+cdots+a^2 b^n-3+a b^n-2+b^n-1)

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, por meio do Princípio de Indução Finita, que para todo inteiro n>=1 vale
a^n-b^n=(a-b)l(a^n-1+a^n-2b+cdots+ab^n-2+b^n-1r)
O conteúdo principal é Indução Finita, que exige verificar uma base (caso mínimo) e depois o passo indutivo (de n para n+1).

Passo 2

Base de indução ( n=1):
À esquerda temos
a^1-b^1=a-b
À direita, a soma telescópica reduz-se a um único termo, pois n-1=0, logo
(a-b)l(b^0r)=(a-b)cdot1=a-b
Assim a fórmula é verdadeira para n=1.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que para algum n>=1 valha
a^n-b^n=(a-b)l(a^n-1+a^n-2b+cdots+b^n-1r)
Queremos mostrar que também vale para n+1. Começamos com
a^n+1-b^n+1 = acdot a^n-bcdot b^n = l(acdot a^n-acdot b^nr)+l(acdot b^n-bcdot b^nr)
Reagrupando,
a^n+1-b^n+1 = al(a^n-b^nr)+b^nl(a-br)
Pela hipótese de indução,
al(a^n-b^nr) = a,(a-b)l(a^n-1+a^n-2b+cdots+b^n-1r)
Logo
a^n+1-b^n+1 = (a-b)l[al(a^n-1+a^n-2b+cdots+b^n-1r)+b^nr]
Distribuindo a e acrescentando b^n ao final da soma, obtemos
a^n+1-b^n+1 = (a-b)l(a^n+a^n-1b+cdots+ab^n-1+b^nr),
ou seja, a fórmula para n+1.

Passo 4

Concluímos que a fórmula vale para n=1 e que, se vale para um n arbitrário, vale também para n+1. Pelo Princípio de Indução Finita, ela vale para todo inteiro n>=1.

Resposta

a^n-b^n=(a-b)l(a^n-1+a^n-2b+cdots+ab^n-2+b^n-1r)

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