Utilize o Principio de Indução Finita para demonstrar as afirmaçōes
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, por meio do Princípio de Indução Finita, que para todo inteiro
vale
O conteúdo principal é Indução Finita, que exige verificar uma base (caso mínimo) e depois o passo indutivo (de
para
).
Passo 2
Base de indução (
):
À esquerda temos
À esquerda temos
À direita, a soma telescópica reduz-se a um único termo, pois
, logo
Assim a fórmula é verdadeira para
.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que para algum
valha
Queremos mostrar que também vale para
. Começamos com
Reagrupando,
Pela hipótese de indução,
Logo
Distribuindo
e acrescentando
ao final da soma, obtemos
ou seja, a fórmula para
.
Passo 4
Concluímos que a fórmula vale para
e que, se vale para um
arbitrário, vale também para
. Pelo Princípio de Indução Finita, ela vale para todo inteiro
.