Exercício 3.1. Use o método de separação de variáveis para resolver os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira (em alguns problemas, pode ser necessário encontrar antes a solução de estado estacionário).
(g) (Corda sujeita à ação de uma força dissipativa)
ut t=c^2 ux x-2 b ut & se 0<x<L e t>0, b>0 u(0, t)=0, u(L, t)=0 & se t >= 0 u(x, 0)=f(x), ut(x, 0)=g(x) & se 0 <= x <= L

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de uma corda sujeita à ação de uma força dissipativa, utilizando o método de separação de variáveis. Vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais parciais, condições de contorno e iniciais, além de técnicas para separar e resolver as variáveis envolvidas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos:
utt = c^2 uxx - 2 b ut
Aqui, u(x, t) representa o deslocamento da corda no ponto x e no tempo t . A equação descreve como esse deslocamento evolui ao longo do tempo e do espaço, onde c é a velocidade da onda e b é uma constante positiva que representa a força dissipativa, ou seja, uma força que vai “dissipar” a energia da corda.

Passo 3

Vamos aplicar o método de separação de variáveis. Isso significa que assumimos que a solução u(x, t) pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de x e outra que depende apenas de t :
u(x, t) = X(x) T(t)
Agora, substituímos essa expressão na equação original:
X(x) T''(t) = c^2 X''(x) T(t) - 2 b X(x) T'(t)
Dividindo ambos os lados por X(x) T(t) :
T''(t)T(t) = c^2 X''(x)X(x) - 2 b T'(t)T(t)

Passo 4

Vamos reorganizar os termos para isolar as partes que dependem apenas de x e apenas de t :
T''(t) + 2 b T'(t)T(t) = c^2 X''(x)X(x)
Como o lado esquerdo depende apenas de t e o direito apenas de x , ambos devem ser iguais a uma constante, que chamaremos de -lambda . Assim, temos duas equações:
  1. Para x :
X''(x) + lambda X(x) = 0
  1. Para t :
T''(t) + 2 b T'(t) + c^2 lambda T(t) = 0

Passo 5

Vamos resolver primeiro a equação espacial X''(x) + lambda X(x) = 0 com as condições de contorno X(0) = 0 e X(L) = 0 .
A solução dessa equação é:
Xn(x) = sin(n pi xL), lambdan = (n piL)^2, n = 1, 2, 3, dots

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação temporal:
T''(t) + 2 b T'(t) + c^2 lambdan T(t) = 0
Substituindo lambdan = (n piL)^2 :
T''(t) + 2 b T'(t) + (n pi cL)^2 T(t) = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral é:
Tn(t) = e^-b t ( An cos(omegan t) + Bn sin(omegan t) )
onde omegan = raiz(n pi cL)^2 - b^2 e An, Bn são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 7

Então, a solução geral para u(x, t) é uma soma de todas essas soluções individuais:
u(x, t) = sumn=1^infty sin(n pi xL) [ An e^-b t cos(omegan t) + Bn e^-b t sin(omegan t) ]

Passo 8

Para determinar An e Bn , usamos as condições iniciais:
  1. u(x, 0) = f(x) :
f(x) = sumn=1^infty An sin(n pi xL)
Isso implica que An são os coeficientes de Fourier de f(x) :
An = 2L integral0^L f(x) sin(n pi xL) dx
  1. ut(x, 0) = g(x) :
g(x) = sumn=1^infty ( -b An cos(0) + omegan Bn ) sin(n pi xL)
Simplificando:
g(x) = sumn=1^infty ( -b An + omegan Bn ) sin(n pi xL)
Assim,
Bn = 2L omegan integral0^L ( g(x) + b An f(x) ) sin(n pi xL) dx

Resposta

Portanto, a solução para a equação dada, sujeita às condições de contorno e iniciais fornecidas, é:
u(x, t) = sumn=1^infty sin(n pi xL) [ An e^-b t cos(omegan t) + Bn e^-b t sin(omegan t) ]
onde
An = 2L integral0^L f(x) sin(n pi xL) dx
e
Bn = 2L omegan integral0^L ( g(x) + b An f(x) ) sin(n pi xL) dx
com omegan = raiz(n pi cL)^2 - b^2 para n = 1, 2, 3, dots .

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