Exercício 3.1. Use o método de separação de variáveis para resolver os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira (em alguns problemas, pode ser necessário encontrar antes a solução de estado estacionário).
(d)
se 0<x<L e t>0,
se t >= 0,
se 0 <= x <= L.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação de onda utt = c^2 uxx definida no intervalo 0 < x < L e para t > 0 . As condições de contorno são u(0, t) = A + B t e u(L, t) = C + D t , e as condições iniciais são u(x, 0) = f(x) e ut(x, 0) = g(x) . O conteúdo principal aqui é a equação de onda e usamos o método de separação de variáveis para resolver problemas de valor inicial e de fronteira. Vamos precisar dividir a solução em uma parte estacionária e outra que resolve o problema homogêneo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução de estado estacionário, que é a parte da solução que não depende do tempo. Para isso, assumimos que uss(x) não depende de t , então uss,tt = 0 . Substituindo na equação de onda:
0 = c^2 uss,xx
Integrando duas vezes em relação a x , obtemos:
uss(x) = C1c^2 x + C2
Passo 3
Agora, aplicamos as condições de contorno para determinar C1 e C2 . Temos:
uss(0) = A + B cdot 0 Rightarrow C2 = A
uss(L) = C + D cdot t mas como uss é estacionária, D t deve ser compensado, então , D = 0 éáã
Então,
C1c^2 L + A = C Rightarrow C1 = c^2 (C - A)L
Portanto, a solução estacionária é:
uss(x) = c^2 (C - A)L c^2 x + A = C - AL x + A
Passo 4
Agora, vamos definir a solução completa como a soma da solução estacionária e da solução homogênea:
u(x, t) = uss(x) + v(x, t)
Substituindo na equação de onda:
vtt = c^2 vxx
As condições de contorno para v(x, t) ficam homogêneas agora:
v(0, t) = (A + B t) - uss(0) = B t
v(L, t) = (C + D t) - uss(L) = D t
No entanto, para simplificar, assumimos que D = 0 conforme estabelecido anteriormente.
Passo 5
Agora, aplicamos o método de separação de variáveis para a equação homogênea vtt = c^2 vxx . Assumimos que:
v(x, t) = X(x) T(t)
Substituindo na equação:
X(x) T''(t) = c^2 X''(x) T(t)
Dividindo ambos os lados por X(x) T(t) :
T''(t)c^2 T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Onde lambda é uma constante de separação.
Passo 6
Resolvemos as equações resultantes:
Para X(x) :
X''(x) + lambda X(x) = 0
Com condições de contorno X(0) = 0 e X(L) = 0 . As soluções não triviais ocorrem quando lambda = ( n piL )^2 , onde n = 1, 2, 3, dots
Para T(t) :
T''(t) + c^2 lambda T(t) = 0 Rightarrow T''(t) + ( n pi cL )^2 T(t) = 0
As soluções são:
Tn(t) = Cn cos( n pi cL t ) + Dn sin( n pi cL t )
Passo 7
Assim, a solução homogênea é uma soma sobre todos os modos:
v(x, t) = sumn=1^infty [ Cn cos( n pi cL t ) + Dn sin( n pi cL t ) ] sin( n piL x )
Passo 8
Aplicamos as condições iniciais para determinar os coeficientes Cn e Dn :