Exercício 3.1. Use o método de separação de variáveis para resolver os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira (em alguns problemas, pode ser necessário encontrar antes a solução de estado estacionário).
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de equações diferenciais parciais, especificamente a equação das ondas. Nosso objetivo é resolver essa equação usando o método de separação de variáveis. Para isso, precisamos entender os condições de contorno e as condições iniciais dadas no problema. Vamos precisar usar conceitos de séries de Fourier e funções próprias para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação que estamos lidando:
Essa é a equação das ondas, onde $ u(x,t) $ descreve a posição da onda em um ponto $ x $ e tempo $ t $, e $ c $ é a velocidade da onda.
Passo 3
Agora, vamos olhar para as condições de contorno:
Essas são condições de contorno do tipo Neumann, que indicam que a derivada espacial de $ u $ nas extremidades $ x = 0 $ e $ x = L $ é zero. Isso geralmente corresponde a uma situação onde as extremidades da corda não estão fixas, mas livres para oscilar sem troca de energia.
Passo 4
Também temos as condições iniciais:
Essas condições nos dizem a forma inicial da onda $ u $ e a velocidade inicial $ u_t $ em cada ponto $ x $.
Passo 5
Vamos usar o método de separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de $ x $ e outra que depende apenas de $ t $:
Passo 6
Substituindo essa forma na equação das ondas:
Onde $ T’’(t) $ é a segunda derivada de $ T $ em relação a $ t $ e $ X’’(x) $ é a segunda derivada de $ X $ em relação a $ x $.
Passo 7
Agora, vamos separar as variáveis dividindo ambos os lados por $ c^2 X(x)T(t) $:
Aqui, $ \lambda $ é uma constante de separação.
Passo 8
Isso nos dá duas equações ordinárias:
- Para $ T(t) $:
- Para $ X(x) $:
Passo 9
Vamos resolver a equação para $ X(x) $ primeiro, considerando as condições de contorno:
Com as condições de contorno $ X’(0) = 0 $ e $ X’(L) = 0 $.
Passo 10
As soluções para $ X(x) $ dependem dos valores de $ \lambda $. Para termos não triviais (não apenas a solução zero), $ \lambda $ deve assumir valores que satisfaçam as condições de contorno. Resolveremos isso encontrando os valores próprios.
Assumindo soluções do tipo $ X(x) = \cos(kx) $, aplicando as condições de contorno nos leva a:
Assim, os valores próprios são:
Passo 11
Agora, resolvemos a equação para $ T(t) $:
Com $ \lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 $.
A solução dessa equação diferencial é:
Passo 12
Portanto, a solução geral para cada modo $ n $ é:
Passo 13
A solução completa é somando todos os modos possíveis:
Passo 14
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar os coeficientes $ A_n $ e $ B_n $.
Para $ t = 0 $:
Isso indica que $ A_n $ são os coeficientes da expansão de $ f(x) $ em série de Fourier de cossenos.
Para $ u_t(x, 0) = g(x) $:
Assim, os coeficientes $ B_n $ são determinados pela expansão de $ g(x) $.
Passo 15
Finalmente, os coeficientes $ A_n $ e $ B_n $ são encontrados usando as fórmulas de Fourier:
Resposta
A solução geral do problema é dada por: