Usando a definição de integral e as expressōes da questāo anterior, calcule
integral0^25 x^3 d x

Passo 1

A questão pede para calcular integral0^25 x^3 ,dx usando a definição de integral (como limite de soma de Riemann) e a expressão para sumk=1^n k^3 obtida na questão anterior. Vamos usar a ideia de particionar o intervalo, escrever a soma de Riemann e aplicar a fórmula de soma de cubos.

Passo 2

Dividimos o intervalo [0,25] em n subintervalos de largura De. Escolhemos o ponto à direita em cada subintervalo, xi = i,De. Pela definição de integral,
integral0^25 x^3 ,dx = limn to infty sumi=1^n f(xi),De

Passo 3

Substituindo xi = iDe e De:
sumi=1^n (iDe

Passo 4

Da questão anterior sabemos que sumi=1^n i^3 = l(tfracn(n+1)2r)^2. Logo:
l(tfrac25nr)^4 sumi=1^n i^3 = l(tfrac25nr)^4 cdot l(tfracn(n+1)2r)^2 = 25^4n^4 cdot n^2(n+1)^24

Passo 5

Agora tomamos o limite quando n to infty:
limntoinfty 25^4n^4 cdot n^2(n+1)^24 = 25^44 limntoinfty n^2(n+1)^2n^4 = 25^44 cdot 1

Passo 6

Portanto, o valor da integral é tfrac25^44

Resposta

integral0^25 x^3 ,dx = 25^44 = 97656.25

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