Exercício 3.1. Use o método de separação de variáveis para resolver os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira (em alguns problemas, pode ser necessário encontrar antes a solução de estado estacionário).
(i) (Corda percurtida por um martelo plano) Para
e
pequeno:
(i) (Corda percurtida por um martelo plano) Para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equação da onda usando o método de separação de variáveis. O problema fala sobre uma corda fixa nas pontas (em $ x = 0 $ e $ x = L $) que é atingida por um martelo na posição $ x = a $ com uma força inicial distribuída em uma pequena região $ \delta $. Vamos precisar entender as equações diferenciais parciais, condições de contorno e iniciais, além de séries de Fourier para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que estamos lidando: $ u_{tt} = c^{2} u_{xx} $. Essa é a equação da onda, onde $ u(x,t) $ representa o deslocamento da corda no ponto $ x $ e no tempo $ t $, e $ c $ é a velocidade da onda na corda.
Passo 3
As condições de contorno são $ u(0, t) = u(L, t) = 0 $. Isso significa que as extremidades da corda estão fixas e não se movem. Já as condições iniciais são $ u(x, 0) = 0 $ (a corda está inicialmente sem deslocamento) e $ u_{t}(x, 0) = g(x) $ (uma velocidade inicial dada pela função $ g(x) $).
Passo 4
Vamos usar a separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como $ u(x, t) = X(x)T(t) $. Substituindo isso na equação da onda, temos:
Dividindo ambos os lados por $ c^{2}X(x)T(t) $:
Aqui, $ \lambda $ é uma constante de separação. Agora, temos duas equações ordinárias:
- $ X’’(x) + \lambda X(x) = 0 $
- $ T’’(t) + c^{2}\lambda T(t) = 0 $
Passo 5
As condições de contorno $ u(0, t) = u(L, t) = 0 $ implicam que $ X(0) = X(L) = 0 $. Resolvendo a equação para $ X(x) $, encontramos que as soluções são funções senoidais:
E os valores próprios são:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação para $ T(t) $:
A solução geral dessa equação é:
Passo 7
Portanto, a solução geral para $ u(x, t) $ é uma soma de todas as soluções separáveis:
Passo 8
Aplicamos as condições iniciais para determinar $ A_n $ e $ B_n $. Como $ u(x, 0) = 0 $, temos:
Isso implica que $ A_n = 0 $ para todos os $ n $.
Passo 9
Agora, usamos a condição $ u_t(x, 0) = g(x) $:
Para encontrar $ B_n $, precisamos expandir $ g(x) $ em uma série de senos:
Simplificando:
Passo 10
Dado que $ g(x) $ é $ v $ quando $ |x - a| \leq \delta $ e 0 caso contrário, a integral para $ B_n $ fica:
Passo 11
Calculando essa integral:
Passo 12
Finalmente, substituindo $ B_n $ de volta na solução geral, temos:
Resposta
A solução para o problema é dada pela série: