Exercício 3.1. Use o método de separação de variáveis para resolver os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira (em alguns problemas, pode ser necessário encontrar antes a solução de estado estacionário).
(i) (Corda percurtida por um martelo plano) Para 0 e de0 pequeno:
ll ut t=c^2 ux x & se 00, u(0, t)=u(L, t)=0 & se t >= 0, u(x, 0)=0 & se 0 <= x <= L, ut(x, 0)=g(x) & se 0 <= x <= L, com g(x)= v & se |x-a| <= dede

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equação da onda usando o método de separação de variáveis. O problema fala sobre uma corda fixa nas pontas (em $ x = 0 $ e $ x = L $) que é atingida por um martelo na posição $ x = a $ com uma força inicial distribuída em uma pequena região $ \delta $. Vamos precisar entender as equações diferenciais parciais, condições de contorno e iniciais, além de séries de Fourier para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que estamos lidando: $ u_{tt} = c^{2} u_{xx} $. Essa é a equação da onda, onde $ u(x,t) $ representa o deslocamento da corda no ponto $ x $ e no tempo $ t $, e $ c $ é a velocidade da onda na corda.

Passo 3

As condições de contorno são $ u(0, t) = u(L, t) = 0 $. Isso significa que as extremidades da corda estão fixas e não se movem. Já as condições iniciais são $ u(x, 0) = 0 $ (a corda está inicialmente sem deslocamento) e $ u_{t}(x, 0) = g(x) $ (uma velocidade inicial dada pela função $ g(x) $).

Passo 4

Vamos usar a separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como $ u(x, t) = X(x)T(t) $. Substituindo isso na equação da onda, temos:
u(x, t) = X(x)T(t)
Dividindo ambos os lados por $ c^{2}X(x)T(t) $:
X(x)T''(t) = c^2X''(x)T(t)
Aqui, $ \lambda $ é uma constante de separação. Agora, temos duas equações ordinárias:
  1. $ X’’(x) + \lambda X(x) = 0 $
  2. $ T’’(t) + c^{2}\lambda T(t) = 0 $

Passo 5

As condições de contorno $ u(0, t) = u(L, t) = 0 $ implicam que $ X(0) = X(L) = 0 $. Resolvendo a equação para $ X(x) $, encontramos que as soluções são funções senoidais:
u(0, t) = u(L, t) = 0
E os valores próprios são:
X(0) = X(L) = 0

Passo 6

Agora, resolvemos a equação para $ T(t) $:
T(t)
A solução geral dessa equação é:
T''(t) + c^2(npiL)^2 T(t) = 0

Passo 7

Portanto, a solução geral para $ u(x, t) $ é uma soma de todas as soluções separáveis:
u(x, t)

Passo 8

Aplicamos as condições iniciais para determinar $ A_n $ e $ B_n $. Como $ u(x, 0) = 0 $, temos:
An
Isso implica que $ A_n = 0 $ para todos os $ n $.

Passo 9

Agora, usamos a condição $ u_t(x, 0) = g(x) $:
ut(x, 0) = g(x)
Para encontrar $ B_n $, precisamos expandir $ g(x) $ em uma série de senos:
ut(x, 0) = sumn=1^infty npi cL Bn sin(npi xL) = g(x)
Simplificando:
Bn

Passo 10

Dado que $ g(x) $ é $ v $ quando $ |x - a| \leq \delta $ e 0 caso contrário, a integral para $ B_n $ fica:
g(x)

Passo 11

Calculando essa integral:
Bn = 2vnpi c [ -Lnpi cos(npi xL) ]a - de
Bn = 2vL(npi)^2 c [ cos(npi (a - de

Passo 12

Finalmente, substituindo $ B_n $ de volta na solução geral, temos:
Bn

Resposta

A solução para o problema é dada pela série:
u(x, t) = sumn=1^infty [ 2vL(npi)^2 c ( cos(npi (a - de

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