Exercício 3.1. Use o método de separação de variáveis para resolver os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira (em alguns problemas, pode ser necessário encontrar antes a solução de estado estacionário).
(j) (Corda percurtida por um martelo convexo) Para e pequeno:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata da equação da onda aplicada a uma corda que está sendo percutida por um martelo convexo. O que precisamos fazer é usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução que satisfaz as condições iniciais e de contorno dadas. Basicamente, vamos resolver uma equação diferencial parcial onde a corda está fixa nas pontas e recebe um golpe no meio. Para isso, vamos precisar entender sobre autovalores, autofunções e como expandir funções em séries.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação da onda que temos:
utt = c^2 uxx
Onde:
u(x, t) é o deslocamento da corda no ponto x e no tempo t ,
c é a velocidade da onda na corda,
utt é a segunda derivada de u em relação ao tempo,
uxx é a segunda derivada de u em relação ao espaço.
Queremos resolver essa equação para 0 < x < L e t > 0 , com as condições de contorno u(0,t) = u(L,t) = 0 e as condições iniciais u(x,0) = 0 e ut(x,0) = g(x) , onde g(x) é uma função específica definida no enunciado.
Passo 3
Vamos usar o método de separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de x e outra que depende apenas de t :
u(x, t) = X(x)T(t)
Substituindo isso na equação da onda:
X(x)T''(t) = c^2 X''(x)T(t)
Dividindo ambos os lados por c^2 X(x)T(t) :
T''(t)c^2 T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Aqui, lambda é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações diferenciais ordinárias:
Para X(x) :
X''(x) + lambda X(x) = 0
Para T(t) :
T''(t) + c^2 lambda T(t) = 0
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação para X(x) com as condições de contorno X(0) = X(L) = 0 :
A solução geral para X(x) é:
Xn(x) = sin(npi xL), n = 1, 2, 3, dots
Essas são as autofunções e os valores de lambda são:
lambdan = (npiL)^2
Passo 5
Agora, resolvendo para T(t) :
A solução geral é:
Tn(t) = An cos(npi c tL) + Bn sin(npi c tL)
Portanto, a solução completa u(x, t) é uma soma das soluções parciais:
u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(npi c tL) + Bn sin(npi c tL) ] sin(npi xL)
Passo 6
Aplicando as condições iniciais:
u(x, 0) = 0 :
sumn=1^infty An sin(npi xL) = 0
Isso implica que todos os An = 0 .
ut(x, 0) = g(x) :
Derivando u(x, t) em relação ao tempo e avaliando em t = 0 :
sumn=1^infty Bn npi cL sin(npi xL) = g(x)
Então, os coeficientes Bn são dados por:
Bn = 2L integral0^L g(x) sin(npi xL) dx cdot Lnpi c = 2npi c integral0^L g(x) sin(npi xL) dx
Passo 7
Substituindo An = 0 e Bn na solução geral, temos:
u(x, t) = sumn=1^infty [ 2npi c integral0^L g(x') sin(npi x'L) dx' ] sin(npi c tL) sin(npi xL)
Note que fizemos uma mudança de variável na integral para evitar confusão com x .
Passo 8
Agora, vamos considerar a forma específica de [g(x)):
Isso significa que .
Passo 9
Para encontrar os coeficientes Bn , precisamos calcular a integral:
Essa série representa a superposição das diferentes modos de vibração da corda, cada um contribuindo para o movimento total de acordo com a forma e a localização da força aplicada pelo martelo.