Exercício 3.1. Use o método de separação de variáveis para resolver os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira (em alguns problemas, pode ser necessário encontrar antes a solução de estado estacionário).
(j) (Corda percurtida por um martelo convexo) Para 0<a<L e de<a>0 pequeno:
ll ut t=c^2 ux x & se 0<x<L e t>0, u(0, t)=u(L, t)=0 & se t >= 0, u(x, 0)=0 & se 0 <= x <= L, ut(x, 0)=g(x) & se 0 <= x <= L, com g(x)= v cos pi(x-a)2 de<a & se |x-a| <= de<a, 0 & se |x-a|>de<a

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata da equação da onda aplicada a uma corda que está sendo percutida por um martelo convexo. O que precisamos fazer é usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução que satisfaz as condições iniciais e de contorno dadas. Basicamente, vamos resolver uma equação diferencial parcial onde a corda está fixa nas pontas e recebe um golpe no meio. Para isso, vamos precisar entender sobre autovalores, autofunções e como expandir funções em séries.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação da onda que temos:
utt = c^2 uxx
Onde:
  • u(x, t) é o deslocamento da corda no ponto x e no tempo t ,
  • c é a velocidade da onda na corda,
  • utt é a segunda derivada de u em relação ao tempo,
  • uxx é a segunda derivada de u em relação ao espaço.
Queremos resolver essa equação para 0 < x < L e t > 0 , com as condições de contorno u(0,t) = u(L,t) = 0 e as condições iniciais u(x,0) = 0 e ut(x,0) = g(x) , onde g(x) é uma função específica definida no enunciado.

Passo 3

Vamos usar o método de separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de x e outra que depende apenas de t :
u(x, t) = X(x)T(t)
Substituindo isso na equação da onda:
X(x)T''(t) = c^2 X''(x)T(t)
Dividindo ambos os lados por c^2 X(x)T(t) :
T''(t)c^2 T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Aqui, lambda é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações diferenciais ordinárias:
  1. Para X(x) :
X''(x) + lambda X(x) = 0
  1. Para T(t) :
T''(t) + c^2 lambda T(t) = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para X(x) com as condições de contorno X(0) = X(L) = 0 :
A solução geral para X(x) é:
Xn(x) = sin(npi xL), n = 1, 2, 3, dots
Essas são as autofunções e os valores de lambda são:
lambdan = (npiL)^2

Passo 5

Agora, resolvendo para T(t) :
A solução geral é:
Tn(t) = An cos(npi c tL) + Bn sin(npi c tL)
Portanto, a solução completa u(x, t) é uma soma das soluções parciais:
u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(npi c tL) + Bn sin(npi c tL) ] sin(npi xL)

Passo 6

Aplicando as condições iniciais:
  1. u(x, 0) = 0 :
sumn=1^infty An sin(npi xL) = 0
Isso implica que todos os An = 0 .
  1. ut(x, 0) = g(x) :
Derivando u(x, t) em relação ao tempo e avaliando em t = 0 :
sumn=1^infty Bn npi cL sin(npi xL) = g(x)
Então, os coeficientes Bn são dados por:
Bn = 2L integral0^L g(x) sin(npi xL) dx cdot Lnpi c = 2npi c integral0^L g(x) sin(npi xL) dx

Passo 7

Substituindo An = 0 e Bn na solução geral, temos:
u(x, t) = sumn=1^infty [ 2npi c integral0^L g(x') sin(npi x'L) dx' ] sin(npi c tL) sin(npi xL)
Note que fizemos uma mudança de variável na integral para evitar confusão com x .

Passo 8

Agora, vamos considerar a forma específica de [g(x)):
Isso significa que .

Passo 9

Para encontrar os coeficientes Bn , precisamos calcular a integral:
integral0^L g(x) sin(npi xL) dx = integrala - de<a^a + de<a v cos(pi(x - a)2de<a) sin(npi xL) dx
Essa integral pode ser resolvida usando métodos de integração por partes ou substituições trigonométricas, dependendo do nível de detalhe necessário.

Passo 10

Finalmente, substituindo tudo na solução geral, temos:
u(x, t) = sumn=1^infty [ 2vnpi c integrala - de<a^a + de<a cos(pi(x' - a)2de<a) sin(npi x'L) dx' ] sin(npi c tL) sin(npi xL)

Resposta

A solução para o deslocamento u(x, t) da corda percutida pelo martelo convexo é dada por:
u(x, t) = sumn=1^infty [ 2vnpi c integrala - de<a^a + de<a cos(pi(x' - a)2de<a) sin(npi x'L) dx' ] sin(npi c tL) sin(npi xL)
Essa série representa a superposição das diferentes modos de vibração da corda, cada um contribuindo para o movimento total de acordo com a forma e a localização da força aplicada pelo martelo.

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