Exercício 1.3: Use o polinômio
para aproximar
e estime o erro usando o resto de Lagrange.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras: (1) usar o polinômio
para aproximar
e (2) estimar o erro dessa aproximação usando o resto de Lagrange.
Informações fornecidas: o polinômio (grau 3) e o ponto onde queremos a aproximação,
. Não há outras informações ocultas.
Informações fornecidas: o polinômio
Passo 2
Explicando o que vamos usar (passo a passo didático): quando aproximamos
por um polinômio de Taylor centrado em
(Maclaurin) de grau
, obtemos exatamente o
dado. O erro (resto) de Taylor na forma de Lagrange para grau
é dado por:
para algum
entre
e
. Aqui:
-
é a derivada de ordem de avaliada em ; -
é o fatorial de ; -
é a potência correspondente; -
é um número entre e (ou entre e , dependendo do sinal de ).
No nosso caso
e
. Todas as derivadas de
são
novamente, isto é,
para todo
. Portanto o resto assume a forma
Para obter uma cota do erro (uma estimativa segura), usamos o fato que, em
, a função
é crescente, então
para
. Assim
Vou agora aplicar isso numericamente, passo a passo.
Passo 3
Cálculo do polinômio
em
, termo a termo, mostrando as contas para poder fazer na prova sem calculadora complexa:
Calculemos cada potência e fração:
Somando os termos:
Arredondando de forma razoável (por exemplo a 10 casas decimais):
Passo 4
Agora a estimativa do erro usando a cota do resto de Lagrange. Já temos a forma
Calculemos cada peça numericamente:
Assim
Usando uma aproximação de
(é legítimo usar um valor aproximado para obter a cota numérica):
. Multiplicando:
Arredondando:
Observação útil para a prova: o resto de Lagrange fornece uma cota segura, e quase sempre para
em intervalos pequenos a cota será muito pequena — aqui cerca de
. Se você quiser, pode também comparar com o erro real:
que é menor que a cota (como deve ser).
Resposta
Aproximação:
Estimativa do erro (cota pelo resto de Lagrange):
Estimativa do erro (cota pelo resto de Lagrange):