Exercício 1.3: Use o polinômio P_{3}(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6} para aproximar e^{0.1} e estime o erro usando o resto de Lagrange.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras: (1) usar o polinômio P_{3}(x)=1+x+\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{6} para aproximar e^{0,1} e (2) estimar o erro dessa aproximação usando o resto de Lagrange.
Informações fornecidas: o polinômio P_{3} (grau 3) e o ponto onde queremos a aproximação, x=0,1. Não há outras informações ocultas.

Passo 2

Explicando o que vamos usar (passo a passo didático): quando aproximamos f(x)=e^{x} por um polinômio de Taylor centrado em 0 (Maclaurin) de grau 3, obtemos exatamente o P_{3} dado. O erro (resto) de Taylor na forma de Lagrange para grau n é dado por:
R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{\,n+1}
para algum \xi entre 0 e x. Aqui:
  • f^{(n+1)}(\xi) é a derivada de ordem n+1 de f avaliada em \xi;
  • (n+1)! é o fatorial de n+1;
  • x^{\,n+1} é a potência correspondente;
  • \xi é um número entre 0 e x (ou entre x e 0, dependendo do sinal de x).
No nosso caso n=3 e f(x)=e^{x}. Todas as derivadas de e^{x} são e^{x} novamente, isto é, f^{(k)}(t)=e^{t} para todo k. Portanto o resto assume a forma
R_{3}(x)=\frac{e^{\xi}}{4!}x^{4},\quad \text{com \(\xi\) entre \(0\) e \(x\).}
Para obter uma cota do erro (uma estimativa segura), usamos o fato que, em [0,0,1], a função e^{t} é crescente, então e^{\xi}\le e^{0,1} para \xi\in[0,0,1]. Assim
|R_{3}(0,1)| \le \frac{e^{0,1}}{4!}(0,1)^{4}.
Vou agora aplicar isso numericamente, passo a passo.

Passo 3

Cálculo do polinômio P_{3} em x=0,1, termo a termo, mostrando as contas para poder fazer na prova sem calculadora complexa:
P_{3}(0,1)=1+0,1+\frac{(0,1)^{2}}{2}+\frac{(0,1)^{3}}{6}.
Calculemos cada potência e fração:
(0,1)^{2}=0,01,
\frac{(0,1)^{2}}{2}=\frac{0,01}{2}=0,005,
(0,1)^{3}=0,001,
\frac{(0,1)^{3}}{6}=\frac{0,001}{6}=0,000166666\ldots
Somando os termos:
P_{3}(0,1)=1 + 0,1 + 0,005 + 0,000166666\ldots = 1,105166666\ldots
Arredondando de forma razoável (por exemplo a 10 casas decimais):
P_{3}(0,1)\approx 1,1051666667.

Passo 4

Agora a estimativa do erro usando a cota do resto de Lagrange. Já temos a forma
|R_{3}(0,1)| \le \frac{e^{0,1}}{4!}(0,1)^{4}.
Calculemos cada peça numericamente:
(0,1)^{4}=0,0001,
4!=24,
\frac{(0,1)^{4}}{4!}=\frac{0,0001}{24}=0,000004166666\ldots
Assim
|R_{3}(0,1)| \le e^{0,1}\cdot 0,000004166666\ldots
Usando uma aproximação de e^{0,1} (é legítimo usar um valor aproximado para obter a cota numérica): e^{0,1}\approx 1,1051709181. Multiplicando:
|R_{3}(0,1)| \le 1,1051709181 \times 0,000004166666\ldots \approx 0,0000046057121\ldots
Arredondando:
|R_{3}(0,1)| \le 0,0000046057\quad (\text{aprox.})
Observação útil para a prova: o resto de Lagrange fornece uma cota segura, e quase sempre para e^{x} em intervalos pequenos a cota será muito pequena — aqui cerca de 4{,}6\times 10^{-6}. Se você quiser, pode também comparar com o erro real:
\text{Erro real} = |e^{0,1}-P_{3}(0,1)| \approx 0,0000042514,
que é menor que a cota (como deve ser).

Resposta

Aproximação: P_{3}(0,1)\approx 1,1051666667
Estimativa do erro (cota pelo resto de Lagrange): |R_{3}(0,1)|\le 0,0000046057

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