Determine a solução do Sistema Linear abaixo pelo método de Gauss:
\left\{\begin{array}{l} 5 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=9 \\\ x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=-3 \\\\ -x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=6 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: determine a solução do sistema linear abaixo pelo método de Gauss. As equações fornecidas são:
\begin{cases} 5x_{1}-2x_{2}+x_{3}=9,\\[4pt] x_{1}+2x_{2}-x_{3}=-3,\\[4pt] -x_{1}-x_{2}+3x_{3}=6. \end{cases}
Informações relevantes dadas (listei as três equações exatamente como no enunciado). A tarefa é encontrar os valores de x_{1}, x_{2} e x_{3} que satisfazem todas as três equações simultaneamente, usando o método de eliminação de Gauss (transformar o sistema em forma escalonada por operações elementares em linhas).]

Passo 2

Transformamos o sistema na sua matriz aumentada (a última coluna é o vetor dos termos constantes). A matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 5 & -2 & 1 & 9\\[4pt] 1 & 2 & -1 & -3\\[4pt] -1 & -1 & 3 & 6 \end{array}\right].
Explicação rápida: cada linha corresponde a uma equação; as três primeiras colunas correspondem aos coeficientes de x_{1},x_{2},x_{3} e a coluna após a barra vertical é o termo independente (o lado direito).]

Passo 3

Para facilitar os cálculos escolhemos um pivô simples na primeira coluna. Troco as linhas 1 e 2 porque a linha 2 tem coeficiente 1 em x_{1}, o que evita frações imediatas. Operação: R_{1}\leftrightarrow R_{2}. A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & -3\\[4pt] 5 & -2 & 1 & 9\\[4pt] -1 & -1 & 3 & 6 \end{array}\right].
Comentário: agora o pivô na primeira coluna é 1 (entrada a_{11}=1).]

Passo 4

Eliminação abaixo do pivô a_{11}=1. Queremos zerar as entradas abaixo na coluna 1.
  • Fazer R_{2}\leftarrow R_{2}-5R_{1}. Calculemos cada entrada da nova R_{2}:
    • Coluna 1: 5-5\cdot1=0.
    • Coluna 2: -2-5\cdot2=-2-10=-12.
    • Coluna 3: 1-5\cdot(-1)=1+5=6.
    • Termo independente: 9-5\cdot(-3)=9+15=24.
  • Fazer R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{1}. Calculemos cada entrada da nova R_{3}:
    • Coluna 1: -1+1=0.
    • Coluna 2: -1+2=1.
    • Coluna 3: 3+(-1)=2.
    • Termo independente: 6+(-3)=3.
A matriz depois dessas operações é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & -3\\[4pt] 0 & -12 & 6 & 24\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora vamos escolher o pivô na segunda coluna. A linha 3 tem entrada 1 na coluna 2, mais simples que -12, então trocamos R_{2} e R_{3}: R_{2}\leftrightarrow R_{3}. A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & -3\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & -12 & 6 & 24 \end{array}\right].
Comentário: agora o pivô em a_{22} é 1, o que facilita zerar abaixo dele.]

Passo 6

Eliminamos a entrada em a_{32}=-12 usando R_{3}\leftarrow R_{3}+12R_{2}. Calculemos:
  • Coluna 1: 0+12\cdot0=0.
  • Coluna 2: -12+12\cdot1=-12+12=0.
  • Coluna 3: 6+12\cdot2=6+24=30.
  • Termo independente: 24+12\cdot3=24+36=60.
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & -3\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 30 & 60 \end{array}\right].]

Passo 7

Agora normalizamos a terceira linha dividindo por 30 para obter pivô 1 em a_{33}. Operação: R_{3}\leftarrow \dfrac{1}{30}R_{3}. Calculando:
  • Coluna 3: 30/30=1.
  • Termo independente: 60/30=2.
    Logo a matriz escalonada reduzida (com pivôs 1) é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & -3\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right].
Comentário: isso significa que, a partir da terceira linha, já temos a equação x_{3}=2.]

Passo 8

Fazemos substituição regressiva (back-substitution) para encontrar x_{2} e x_{1}.
Da terceira linha temos diretamente:
x_{3}=2.
Da segunda linha temos 0\cdot x_{1}+1\cdot x_{2}+2\cdot x_{3}=3. Substituindo x_{3}=2:
x_{2}+2\cdot 2=3 \quad\Rightarrow\quad x_{2}+4=3 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=3-4=-1.
Da primeira linha temos x_{1}+2x_{2}-x_{3}=-3. Substituindo x_{2}=-1 e x_{3}=2:
x_{1}+2(-1)-2=-3 \quad\Rightarrow\quad x_{1}-2-2=-3 \quad\Rightarrow\quad x_{1}-4=-3 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=1.

Passo 9

Verificação rápida (substituir na equação original para garantir que tudo bate):
  • Primeira equação: 5x_{1}-2x_{2}+x_{3}=5\cdot1-2\cdot(-1)+2=5+2+2=9 correto.
  • Segunda equação: x_{1}+2x_{2}-x_{3}=1+2(-1)-2=1-2-2=-3 correto.
  • Terceira equação: -x_{1}-x_{2}+3x_{3}=-1-(-1)+3\cdot2=-1+1+6=6 correto.
Tudo confere; solução válida.

Resposta

x_{1}=1
x_{2}=-1
x_{3}=2

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