Duas correntes gasosas estão disponíveis para serem utilizadas em uma reação química. A primeira corrente contém A puro a uma vazão de 200 \mathrm{~L} / \mathrm{min}; a segunda contém 40 \% molar de B e o restante em inertes a uma vazão de 400 \mathrm{~L} / \mathrm{min}. Essas correntes são misturadas instantaneamente e alimentam um reator contínuo. Ambas estão a mesma temperatura \left(200^{\circ} \mathrm{C}\right) e pressão (1 \mathrm{~atm}), condições essas que permanecem inalteradas durante o processo da mistura. A reação química possui a seguinte estequiometria:
2 A+B \rightarrow C
É de segunda ordem global, sendo de ordem um para A e de ordem um para B . Essa reação química é realizada isotermicamente em um reator de mistura de 100L e que opera a pressão total constante de 1 atm. Para uma conversão de 50 \% do reagente limitante em produto.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede que a situação seja avaliada para uma conversão de 50\% do reagente limitante:
  • Corrente 1: contém A puro com vazão volumétrica de 200\\ \mathrm{L/min}.
  • Corrente 2: contém 40\% molar de B e 60\% molar de inertes, vazão volumétrica total 400\\ \mathrm{L/min}.
  • Temperatura e pressão são as mesmas em ambas as correntes: 200^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{atm}. Essas condições permanecem durante a mistura.
  • Reação: 2A + B \rightarrow C
  • Lei de velocidade: reação de segunda ordem global, ordem um em A e ordem um em B. Ou seja, velocidade por volume (extensão de reação por volume) r = k\,C_A\,C_B,
onde k é a constante de velocidade que queremos relacionar com os dados do reator.
  • Reator: reator de mistura contínua (CSTR) isotérmico, volume V=100\\ \mathrm{L}, pressão total constante 1\\ \mathrm{atm}.
  • Deseja-se analisar o caso em que a conversão do reagente limitante é X_A=50\%=0{,}5.
Informações importantes a serem usadas: vazões volumétricas de entrada, composição da segunda corrente, T e P para converter vazões volumétricas em molaridades/molaridades totais, e balanço de massa para CSTR em estado estacionário. A tarefa implícita é obter a constante k necessária para que, no CSTR de 100\\ \mathrm{L}, se atinja X_A=0{,}5 (vou deduzir e calcular k).

Passo 2

Converter vazões volumétricas em vazões molares usando o gás ideal. Explico a fórmula: para gás ideal, o volume molar \displaystyle V_m=\dfrac{RT}{P}. Aqui R em unidades compatíveis com litros e atm vale R=0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}. A temperatura absoluta é \displaystyle T=200^\circ\mathrm{C}=200+273{,}15=473{,}15\\ \mathrm{K}. Assim:
V_m=\dfrac{RT}{P}=\dfrac{0{,}082057\cdot 473{,}15}{1}=38{,}826\\ \mathrm{L/mol}.
A vazão molar de cada corrente é a vazão volumétrica dividida por V_m.
  • Vazão molar de A (corrente 1):
\dot{F}_{A0}=\dfrac{200}{38{,}826}=5{,}1525\\ \mathrm{mol/min}.
  • Na corrente 2, vazão volumétrica de B é 0{,}4\cdot 400=160\\ \mathrm{L/min}, logo
\dot{F}_{B0}=\dfrac{160}{38{,}826}=4{,}1220\\ \mathrm{mol/min}.
  • Inertes (corrente 2) vazão molar:
\dot{F}_{I0}=\dfrac{240}{38{,}826}=6{,}1776\\ \mathrm{mol/min}.
  • Vazão molar total de entrada:
\dot{F}_{T0}=\dot{F}_{A0}+\dot{F}_{B0}+\dot{F}_{I0}=5{,}1525+4{,}1220+6{,}1776=15{,}4521\\ \mathrm{mol/min}.

Passo 3

Calcular a concentração total (molaridade total) no reator a P e T constantes. Como P e T são constantes, a concentração total (mol/L) é
C_T=\dfrac{P}{RT}=\dfrac{1}{0{,}082057\cdot 473{,}15}=\dfrac{1}{38{,}826}=0{,}025756\\ \mathrm{mol/L}.
Outra maneira equivalente (checagem) é dividir a vazão molar total pela vazão volumétrica total de entrada ( 600\\ \mathrm{L/min}): \dfrac{15{,}4521}{600}=0{,}0257535\\ \mathrm{mol/L}, consistente com C_T (diferença numérica por arredondamento).
As concentrações molares iniciais (antes de qualquer reação) dos reagentes, na corrente mista, são as frações molares multiplicadas por C_T. Mas vamos usar as vazões molares para os balanços, que é mais direto.

Passo 4

Determinar o reagente limitante conforme as vazões molares e estequiometria. Para a reação 2A+B, a razão estequiométrica ideal é \dfrac{A}{B}=2. A razão das vazões molares iniciais é
\dfrac{\dot{F}_{A0}}{\dot{F}_{B0}}=\dfrac{5{,}1525}{4{,}1220}=1{,}25.
Como 1{,}25<2, há menos A do que a razão estequiométrica pede, ou seja, A é o reagente limitante. Logo conversão especificada X_A=0{,}5 refere-se a A.

Passo 5

Montar o balanço molar estacionário para A no CSTR e relacionar com a velocidade. Esclareço os conceitos:
  • Balanço molar em regime estacionário para A no CSTR:
\dot{F}_{A0}-\dot{F}_{A}+V\,r_A=0,
onde \dot{F}_{A0} é vazão molar de entrada de A, \dot{F}_{A} é vazão molar de saída (no CSTR a saída tem a mesma composição do conteúdo do reator) e r_A é a taxa volumétrica de consumo de A (mol·L⁻1·min⁻1), que será negativa porque A é consumido.
  • A lei de velocidade dada é de primeira ordem em A e em B, portanto a velocidade (extensão por volume) da reação é:
r = k\,C_A\,C_B,
onde C_A e C_B são concentrações no reator (mol·L⁻1) e k tem unidades \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot min^{-1}}.
  • Pela estequiometria, a taxa de consumo de A por volume é \;r_A=-2\,r=-2\,k\,C_A\,C_B.
Substituindo no balanço e reescrevendo em termos de conversão X_A (definida por \dot{F}_{A}=\dot{F}_{A0}(1-X_A)) obtemos:
\dot{F}_{A0}-\dot{F}_{A0}(1-X_A)+V(-2kC_A C_B)=0.
Isto simplifica para a forma útil:
\dot{F}_{A0}X_A = 2V k\,C_A\,C_B.
Essa é a equação de projeto que relaciona conversão X_A, volume V, constante k e concentrações internas C_A e C_B.

Passo 6

Expressar C_A e C_B no reator em função de X_A e das vazões iniciais. Vou usar o método com vazões molares (mais robusto para gases):
  • A vazão molar de A na saída (e no reator): \displaystyle \dot{F}_A=\dot{F}_{A0}(1-X_A).
  • A quantidade de A reagida por minuto é \dot{F}_{A0}X_A. Pela estequiometria, para cada 2 mol de A consumidos consome-se 1 mol de B. Assim a vazão molar de B na saída é:
\dot{F}_B=\dot{F}_{B0}-\dfrac{1}{2}\dot{F}_{A0}X_A.
  • A vazão molar total de saída é a inicial menos a variação total de moles devido à reação. Cada reação consome 2+1=3 mol e forma 1 mol de produto, portanto a mudança líquida é -2 mol por reação. Em termos de A reagido: a variação de fluxo total é -\dot{F}_{A0}X_A. Assim:
\dot{F}_T=\dot{F}_{T0}-\dot{F}_{A0}X_A.
  • As concentrações no reator (que são as concentrações de saída do CSTR) são as vazões molares divididas pela vazão volumétrica de saída. Mas como o processo é a pressão e a temperatura constantes e o sistema é gasoso ideal, é mais conveniente relacionar concentrações com frações molares multiplicadas por C_T. Assim:
C_A=\dfrac{\dot{F}_A}{\dot{F}_T}\,C_T,\qquad C_B=\dfrac{\dot{F}_B}{\dot{F}_T}\,C_T.
Substituindo essas expressões em \dot{F}_{A0}X_A = 2V k\,C_A\,C_B obtemos, após simplificação (mostro a manipulação):
\dot{F}_{A0}X_A = 2V k \left(\dfrac{\dot{F}_A}{\dot{F}_T}C_T\right)\left(\dfrac{\dot{F}_B}{\dot{F}_T}C_T\right) =2V k\,C_T^2\,\dfrac{\dot{F}_A\dot{F}_B}{\dot{F}_T^2}.
Isolando k,
\boxed{\,k=\dfrac{\dot{F}_{A0}X_A\\ \dot{F}_T^{2}}{2V\,C_T^{2}\,\dot{F}_A\dot{F}_B}\, }.
Essa é a fórmula que usarei para calcular k numérico. Nota: todas as \dot{F} envolvidas são fluxos molares (mol/min) no estado correspondente (alguns são iniciais, outros dependem de X_A e foram expressos acima).

Passo 7

Substituir os valores numéricos nas expressões das vazões após conversão X_A=0{,}5:
  • \displaystyle \dot{F}_{A0}=5{,}1525\\ \mathrm{mol/min}.
  • \displaystyle \dot{F}_{B0}=4{,}1220\\ \mathrm{mol/min}.
  • \displaystyle \dot{F}_{T0}=15{,}4521\\ \mathrm{mol/min}.
  • Conversão \displaystyle X_A=0{,}5.
Calcular as vazões na saída:
\dot{F}_A=\dot{F}_{A0}(1-X_A)=5{,}1525(1-0{,}5)=2{,}57625\\ \mathrm{mol/min}.
\dot{F}_B=\dot{F}_{B0}-\dfrac{1}{2}\dot{F}_{A0}X_A =4{,}1220-\tfrac{1}{2}\cdot 5{,}1525\cdot 0{,}5 =4{,}1220-1{,}288125=2{,}833875\\ \mathrm{mol/min}.
\dot{F}_T=\dot{F}_{T0}-\dot{F}_{A0}X_A =15{,}4521-5{,}1525\cdot 0{,}5 =15{,}4521-2{,}57625=12{,}87585\\ \mathrm{mol/min}.
Cálculo de C_T (já obtido no Passo 3):
C_T=0{,}025756\\ \mathrm{mol/L}.

Passo 8

Substituir tudo na fórmula de k:
k=\dfrac{\dot{F}_{A0}X_A\\ \dot{F}_T^{2}}{2V\,C_T^{2}\,\dot{F}_A\dot{F}_B}.
Calcular numericamente cada termo (apresento os valores intermediários):
  • \dot{F}_{A0}X_A=5{,}1525\cdot 0{,}5=2{,}57625\\ \mathrm{mol/min}.
  • \dot{F}_T^{2}=(12{,}87585)^2=165{,}787\\ (\mathrm{mol/min})^2 (aprox).
  • Produto \dot{F}_A\dot{F}_B=2{,}57625\cdot 2{,}833875=7{,}3007705\\ (\mathrm{mol/min})^2 (aprox).
  • C_T^{2}=(0{,}025756)^2=0{,}00066306\\ (\mathrm{mol/L})^2.
  • 2V=2\cdot 100=200\\ \mathrm{L}.
Agora o denominador:
2V\,C_T^{2}\,\dot{F}_A\dot{F}_B =200\cdot 0{,}00066306\cdot 7{,}3007705 \approx 0{,}96807\\ \text{(unidades: mol^2·L·min^{-2}·L^{-2} que se simplificam para dar } \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot min^{-1}}\text{ para }k).
O numerador:
\dot{F}_{A0}X_A\\ \dot{F}_T^{2}=2{,}57625\cdot 165{,}787\approx 427{,}21.
Logo:
k=\dfrac{427{,}21}{0{,}96807}\approx 441{,}5\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot min^{-1}}.
Arredondando de forma prática, \;k\approx 4{,}42\times 10^{2}\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot min^{-1}}.

Passo 9

Comentário didático-final: interpretando o resultado — a constante k calculada é a constante de velocidade que, sob as condições dadas (vazões de alimentação, temperatura, pressão) e no CSTR de 100\\ \mathrm{L}, leva a uma conversão de 50\% do reagente limitante A. Note que para problemas de gases é importante usar balanços em vazões molares e lembrar que, com P e T constantes, a concentração total é fixa e as concentrações de cada espécie seguem das frações molares resultantes da reação. Se em prova aparecerem valores um pouco diferentes, verifique arredondamentos e se a questão pede k em outras unidades (por exemplo s⁻1 ou h⁻1).

Resposta

k\approx 4{,}42\times 10^{2}\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot min^{-1}}

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