Questão 1.(2.0) Calcule as integrais duplas
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
O conteúdo aqui é aplicar o Teorema de Fubini para transformar a integral dupla numa iterada e depois integrar polinômios em
e, em seguida, polinômios vezes
em
.
Passo 2
Primeiro vamos descrever
em coordenadas iteradas. Para cada
precisamos ter
As raízes dessa equação
são
e a região interessa é
Para cada
nesse intervalo,
varia de
até
.
Passo 3
Pelo Teorema de Fubini podemos escrever
Passo 4
Calcular a integral interna em
:
Logo
Passo 5
O problema agora reduz-se à integral de um polinômio vezes
, que se resolve por partes repetidas. Note que no ponto superior
vale
, o que faz com que
e, também em
,
, anulando todos os termos de contorno. Assim, após fazer as integrações por partes necessárias, chega-se a um valor explícito em termos de
e
.