Questão 1.(2.0) Calcule as integrais duplas
\iint_{K} y^{3} \cos x d x d y, onde K=\left\{(x, y): x>0, y>x^{2}, y<10-x\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I=\iint_{K}y^{3}\cos x\;dx\,dy,
onde
K=\{(x,y)\mid x>0,\;y>x^{2},\;y<10-x\}.
O conteúdo aqui é aplicar o Teorema de Fubini para transformar a integral dupla numa iterada e depois integrar polinômios em y e, em seguida, polinômios vezes \cos x em x.

Passo 2

Primeiro vamos descrever K em coordenadas iteradas. Para cada x>0 precisamos ter
x^{2}<10-x\quad\Longrightarrow\quad x^{2}+x-10<0.
As raízes dessa equação x^{2}+x-10=0 são
x=\frac{-1\pm\sqrt{1+40}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{41}}{2},
e a região interessa é
0<x<\frac{\sqrt{41}-1}{2}.
Para cada x nesse intervalo, y varia de y=x^{2} até y=10-x.

Passo 3

Pelo Teorema de Fubini podemos escrever
I=\int_{x=0}^{\frac{\sqrt{41}-1}{2}}\Bigl(\int_{y=x^{2}}^{\,10-x}y^{3}\,dy\Bigr)\cos x\;dx.

Passo 4

Calcular a integral interna em y:
\int_{y=x^{2}}^{\,10-x}y^{3}\,dy =\left[\frac{y^{4}}{4}\right]_{y=x^{2}}^{\,10-x} =\frac{(10 - x)^{4}-\bigl(x^{2}\bigr)^{4}}{4} =\frac{(10 - x)^{4}-x^{8}}{4}.
Logo
I =\int_{0}^{\frac{\sqrt{41}-1}{2}} \frac{(10 - x)^{4}-x^{8}}{4}\;\cos x\;dx =\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\sqrt{41}-1}{2}}\bigl[(10 - x)^{4}-x^{8}\bigr]\cos x\;dx.

Passo 5

O problema agora reduz-se à integral de um polinômio vezes \cos x, que se resolve por partes repetidas. Note que no ponto superior x=\tfrac{\sqrt{41}-1}{2} vale 10 - x = (x)^{2}, o que faz com que (10 - x)^{4} - x^{8} = 0 e, também em x=0, \sin 0 = 0, anulando todos os termos de contorno. Assim, após fazer as integrações por partes necessárias, chega-se a um valor explícito em termos de \sin\bigl(\tfrac{\sqrt{41}-1}{2}\bigr) e \cos\bigl(\tfrac{\sqrt{41}-1}{2}\bigr).

Resposta

\boxed{I =\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\sqrt{41}-1}{2}}\bigl[(10 - x)^{4}-x^{8}\bigr]\cos x\;dx.}

Exercícios relacionados