Questão 1.(2.0) Calcule as integrais duplas
\iint_{L} \frac{1}{e^{x^{2}+y^{2}}}} d x d y, onde L é a região no primeiro quadrante entre os arcos de círculos x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla da função \frac{1}{e^{x^2+y^2}} sobre a região L no primeiro quadrante entre os círculos x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9. Para resolver, vamos usar coordenadas polares, em que
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta,
definindo os limites de r e \theta.

Passo 2

Em coordenadas polares, a integral fica
\iint_{L}\frac{1}{e^{x^2+y^2}}\,dx\,dy =\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=2}^{3}\frac{1}{e^{r^2}}\,r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{\pi/2}\int_{2}^{3}r\,e^{-r^2}\,dr\,d\theta.

Passo 3

Para a parte radial usamos a substituição u=r^2, de modo que du=2r\,dr e r\,dr=\tfrac12\,du. Assim,
\int_{2}^{3}r\,e^{-r^2}\,dr =\frac12\int_{u=4}^{9}e^{-u}\,du =\frac12\bigl[-e^{-u}\bigr]_{4}^{9} =\frac12\bigl(e^{-4}-e^{-9}\bigr).

Passo 4

Como o resultado anterior não depende de \theta, a integração angular é imediata:
\int_{0}^{\pi/2}\!d\theta=\frac{\pi}{2}.
Multiplicando pelos fatores obtidos,
\iint_{L}=\frac{\pi}{2}\cdot\frac12\bigl(e^{-4}-e^{-9}\bigr) =\frac{\pi}{4}\bigl(e^{-4}-e^{-9}\bigr).

Resposta

\frac{\pi}{4}\bigl(e^{-4}-e^{-9}\bigr).

Exercícios relacionados