EXERCÍCIO 1: Use somas de riemann e Determine a área das integrais definidas por:
integral-3^2 x d x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de x de -3 a 2 usando somas de Riemann. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre como determinar áreas sob curvas. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam as somas de Riemann e aplicar isso para encontrar a área que a função f(x) = x forma entre x = -3 e x = 2 .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma soma de Riemann. É uma maneira de aproximar a área sob uma curva dividindo o intervalo em pequenas partes (chamadas de subintervalos) e somando as áreas de retângulos que ficam sob a curva. Quanto mais subintervalos usarmos, mais precisa será a aproximação.

Passo 3

No nosso caso, queremos dividir o intervalo de -3 a 2 em n subintervalos iguais. A largura de cada subintervalo ( De<a x) é dada por:
De<a x = 2 - (-3)n = 5n

Passo 4

Agora, precisamos escolher pontos dentro de cada subintervalo para calcular a altura dos retângulos. Vamos usar os pontos xi = -3 + i De<a x para i = 1, 2, , n . A altura de cada retângulo será f(xi) = xi .

Passo 5

A soma de Riemann fica então:
Sn = sumi=1^n f(xi) De<a x = sumi=1^n (-3 + i cdot 5n) cdot 5n
Vamos simplificar isso:
Sn = 5n sumi=1^n (-3 + 5in) = 5n ( sumi=1^n (-3) + sumi=1^n 5in )
Sn = 5n ( -3n + 5n cdot n(n+1)2 ) = 5n (-3n) + 5n cdot 5(n+1)2
Sn = -15 + 25(n+1)2n

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito para obter a área exata:
limn to infty Sn = limn to infty ( -15 + 25(n+1)2n ) = -15 + 252 = -15 + 12,5 = -2,5

Resposta

A área das integrais definidas por integral-3^2 x , dx é -2,5.

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