Resolva por Gauss-Jacobi, com quatro decimais, com arredondamento e erro menor ou igual a 0,01 o sistema abaixo:
\left\{\begin{array}{c} 6 x-y+z=7 \\\ x+8 y-z=16 \\\ x+y+5 z=18 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o método de Gauss–Jacobi ao sistema abaixo, obtendo aproximação com quatro casas decimais (com arredondamento) e interrompendo quando o erro for menor ou igual a 0,01\): \[\begin{cases} 6x - y + z = 7,\\\ x + 8y - z = 16,\\\ x + y + 5z = 18. \end{cases}
Informações dadas: as três equações lineares acima e a precisão exigida (erro (\le 0,01] e resultado com 4 casas decimais).

Passo 2

Vamos transformar cada equação para isolar a incógnita correspondente (isso é o que o método de Gauss–Jacobi pede). Para cada iteração usamos os valores da iteração anterior no lado direito.
Isolando:
\begin{aligned} 6x - y + z &= 7 \quad\Rightarrow\quad x &= \frac{1}{6}\bigl(7 + y - z\bigr),\\[4pt] x + 8y - z &= 16 \quad\Rightarrow\quad y &= \frac{1}{8}\bigl(16 - x + z\bigr),\\[4pt] x + y + 5z &= 18 \quad\Rightarrow\quad z &= \frac{1}{5}\bigl(18 - x - y\bigr). \end{aligned}
Explicando a notação: se chamarmos a aproximação na iteração k de \bigl(x^{(k)},y^{(k)},z^{(k)}\bigr), então as fórmulas de atualização (Jacobi) são
\begin{aligned} x^{(k+1)} &= \frac{1}{6}\bigl(7 + y^{(k)} - z^{(k)}\bigr),\\[4pt] y^{(k+1)} &= \frac{1}{8}\bigl(16 - x^{(k)} + z^{(k)}\bigr),\\[4pt] z^{(k+1)} &= \frac{1}{5}\bigl(18 - x^{(k)} - y^{(k)}\bigr). \end{aligned}
Breve justificativa de convergência (útil na prova): uma condição simples que garante convergência da iteração de Jacobi é a diagonal dominante por linhas. Aqui:
\begin{aligned} |6| &\ge |{-1}|+|1| \quad(6 \ge 2),\\\ |8| &\ge |1|+|{-1}| \quad(8 \ge 2),\\\ |5| &\ge |1|+|1| \quad(5 \ge 2). \end{aligned}
Portanto a matriz é estritamente diagonalmente dominante e o método converge.
Critério de parada: usamos o erro entre iterações sucessivas medido pela norma infinito (máximo dos módulos das diferenças). Paramos quando
\max\bigl(|x^{(k+1)}-x^{(k)}|,\;|y^{(k+1)}-y^{(k)}|,\;|z^{(k+1)}-z^{(k)}|\bigr)\le 0,01.
Escolhemos chute inicial simples \bigl(x^{(0)},y^{(0)},z^{(0)}\bigr)=(0,0,0).]

Passo 3

Iteração k=0\to 1 usando \bigl(x^{(0)},y^{(0)},z^{(0)}\bigr)=(0,0,0):
\begin{aligned} x^{(1)} &= \frac{1}{6}\bigl(7 + 0 - 0\bigr) = \frac{7}{6} = 1,1666666667,\\[4pt] y^{(1)} &= \frac{1}{8}\bigl(16 - 0 + 0\bigr) = 2,\\[4pt] z^{(1)} &= \frac{1}{5}\bigl(18 - 0 - 0\bigr) = 3,6. \end{aligned}
Diferenças em relação a \bigl(x^{(0)},y^{(0)},z^{(0)}\bigr): máximo =\;3,6 (maior que 0,01), continuar.]

Passo 4

Iteração k=1\to 2 (usando os valores da iteração 1):
\begin{aligned} x^{(2)} &= \frac{1}{6}\bigl(7 + y^{(1)} - z^{(1)}\bigr) = \frac{1}{6}\bigl(7 + 2 - 3,6\bigr) = \frac{5,4}{6} = 0,9,\\[4pt] y^{(2)} &= \frac{1}{8}\bigl(16 - x^{(1)} + z^{(1)}\bigr) = \frac{1}{8}\bigl(16 - 1,1666666667 + 3,6\bigr) = \frac{18,4333333333}{8} = 2,3041666667,\\[4pt] z^{(2)} &= \frac{1}{5}\bigl(18 - x^{(1)} - y^{(1)}\bigr) = \frac{1}{5}\bigl(18 - 1,1666666667 - 2\bigr) = \frac{14,8333333333}{5} = 2,9666666667. \end{aligned}
Diferenças em relação à iteração 1:
|x^{(2)}-x^{(1)}|=0,2666666667,\;|y^{(2)}-y^{(1)}|=0,3041666667,\;|z^{(2)}-z^{(1)}|=0,6333333333.
Máximo =0,6333333333>0,01. Continuar.]

Passo 5

Iteração k=2\to 3:
\begin{aligned} x^{(3)} &= \frac{1}{6}\bigl(7 + y^{(2)} - z^{(2)}\bigr) = \frac{1}{6}\bigl(7 + 2,3041666667 - 2,9666666667\bigr) = \frac{6,3375}{6} = 1,05625,\\[4pt] y^{(3)} &= \frac{1}{8}\bigl(16 - x^{(2)} + z^{(2)}\bigr) = \frac{1}{8}\bigl(16 - 0,9 + 2,9666666667\bigr) = \frac{18,0666666667}{8} = 2,2583333333,\\[4pt] z^{(3)} &= \frac{1}{5}\bigl(18 - x^{(2)} - y^{(2)}\bigr) = \frac{1}{5}\bigl(18 - 0,9 - 2,3041666667\bigr) = \frac{14,7958333333}{5} = 2,9591666667. \end{aligned}
Diferenças:
|x^{(3)}-x^{(2)}|=0,15625,\;|y^{(3)}-y^{(2)}|=0,0458333333,\;|z^{(3)}-z^{(2)}|=0,0075.
Máximo =0,15625>0,01. Continuar.]

Passo 6

Iteração k=3\to 4:
\begin{aligned} x^{(4)} &= \frac{1}{6}\bigl(7 + y^{(3)} - z^{(3)}\bigr) = \frac{1}{6}\bigl(7 + 2,2583333333 - 2,9591666667\bigr) = \frac{6,2991666666}{6} = 1,0498611111,\\[4pt] y^{(4)} &= \frac{1}{8}\bigl(16 - x^{(3)} + z^{(3)}\bigr) = \frac{1}{8}\bigl(16 - 1,05625 + 2,9591666667\bigr) = \frac{17,9029166667}{8} = 2,2378645833,\\[4pt] z^{(4)} &= \frac{1}{5}\bigl(18 - x^{(3)} - y^{(3)}\bigr) = \frac{1}{5}\bigl(18 - 1,05625 - 2,2583333333\bigr) = \frac{14,6854166667}{5} = 2,9370833333. \end{aligned}
Diferenças:
|x^{(4)}-x^{(3)}|=0,0063888889,\;|y^{(4)}-y^{(3)}|=0,02046875,\;|z^{(4)}-z^{(3)}|=0,0220833334.
Máximo =0,0220833334>0,01. Ainda não atingimos o critério, continuar.]

Passo 7

Iteração k=4\to 5:
\begin{aligned} x^{(5)} &= \frac{1}{6}\bigl(7 + y^{(4)} - z^{(4)}\bigr) = \frac{1}{6}\bigl(7 + 2,2378645833 - 2,9370833333\bigr) = \frac{6,30078125}{6} = 1,0501302083,\\[4pt] y^{(5)} &= \frac{1}{8}\bigl(16 - x^{(4)} + z^{(4)}\bigr) = \frac{1}{8}\bigl(16 - 1,0498611111 + 2,9370833333\bigr) = \frac{17,8872222222}{8} = 2,2359027778,\\[4pt] z^{(5)} &= \frac{1}{5}\bigl(18 - x^{(4)} - y^{(4)}\bigr) = \frac{1}{5}\bigl(18 - 1,0498611111 - 2,2378645833\bigr) = \frac{14,7122743056}{5} = 2,9424548611. \end{aligned}
Diferenças entre iterações 5 e 4:
\begin{aligned} |x^{(5)}-x^{(4)}| &= 0,0002690972,\\[2pt] |y^{(5)}-y^{(4)}| &= 0,0019618055,\\[2pt] |z^{(5)}-z^{(4)}| &= 0,0053715278. \end{aligned}
Máximo =0,0053715278\le 0,01. Portanto o critério de parada foi satisfeito na iteração 5.
Agora arredondamos os valores de \bigl(x^{(5)},y^{(5)},z^{(5)}\bigr) para quatro casas decimais (com arredondamento):
\begin{aligned} x &\approx 1,0501,\\[4pt] y &\approx 2,2359,\\[4pt] z &\approx 2,9425. \end{aligned}
Observação final e ânimo: chegamos à aproximação exigida com erro controlado. Você fez certo em pedir iterações detalhadas — na prova é exatamente isso que pedem: montar as fórmulas, iterar e verificar o critério de parada. Parabéns por aguentar a maratona, já tá quase lá!]

Resposta

x = 1,0501
y = 2,2359
z = 2,9425

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