O enunciado pede para aplicar o método de Gauss–Jacobi ao sistema abaixo, obtendo aproximação com quatro casas decimais (com arredondamento) e interrompendo quando o erro for menor ou igual a 0,01\):
\[\begin{cases} 6x - y + z = 7,\\\ x + 8y - z = 16,\\\ x + y + 5z = 18. \end{cases}
Informações dadas: as três equações lineares acima e a precisão exigida (erro (\le 0,01] e resultado com 4 casas decimais).
Passo 2
Vamos transformar cada equação para isolar a incógnita correspondente (isso é o que o método de Gauss–Jacobi pede). Para cada iteração usamos os valores da iteração anterior no lado direito.
Isolando:
\begin{aligned} 6x - y + z &= 7 \quad\Rightarrow\quad x &= \frac{1}{6}\bigl(7 + y - z\bigr),\\[4pt] x + 8y - z &= 16 \quad\Rightarrow\quad y &= \frac{1}{8}\bigl(16 - x + z\bigr),\\[4pt] x + y + 5z &= 18 \quad\Rightarrow\quad z &= \frac{1}{5}\bigl(18 - x - y\bigr). \end{aligned}
Explicando a notação: se chamarmos a aproximação na iteração k de \bigl(x^{(k)},y^{(k)},z^{(k)}\bigr), então as fórmulas de atualização (Jacobi) são
Breve justificativa de convergência (útil na prova): uma condição simples que garante convergência da iteração de Jacobi é a diagonal dominante por linhas. Aqui:
Diferenças em relação à iteração 1: |x^{(2)}-x^{(1)}|=0,2666666667,\;|y^{(2)}-y^{(1)}|=0,3041666667,\;|z^{(2)}-z^{(1)}|=0,6333333333.
Máximo =0,6333333333>0,01. Continuar.]
Diferenças: |x^{(4)}-x^{(3)}|=0,0063888889,\;|y^{(4)}-y^{(3)}|=0,02046875,\;|z^{(4)}-z^{(3)}|=0,0220833334.
Máximo =0,0220833334>0,01. Ainda não atingimos o critério, continuar.]
Máximo =0,0053715278\le 0,01. Portanto o critério de parada foi satisfeito na iteração 5.
Agora arredondamos os valores de \bigl(x^{(5)},y^{(5)},z^{(5)}\bigr) para quatro casas decimais (com arredondamento):
\begin{aligned} x &\approx 1,0501,\\[4pt] y &\approx 2,2359,\\[4pt] z &\approx 2,9425. \end{aligned}
Observação final e ânimo: chegamos à aproximação exigida com erro controlado. Você fez certo em pedir iterações detalhadas — na prova é exatamente isso que pedem: montar as fórmulas, iterar e verificar o critério de parada. Parabéns por aguentar a maratona, já tá quase lá!]