Exercício 4: Use a 1^{\underline{\mathrm{a}}} forma do TFC para calcular a derivada das seguintes funções:
b) G(x)=\int_{x}^{0} \operatorname{arcsen}\left(t^{2}\right) d t,-1<x<1

Passo 1

O enunciado nos dá a função
G(x)=\int_{x}^{0}\operatorname{arcsen}\!\left(t^{2}\right)\,dt,\qquad -1<x<1,
e pede para calcular G'(x) usando a 1^{\underline{\mathrm{a}}} forma do Teorema Fundamental do Cálculo.
Informações relevantes fornecidas:
  • O integrando é t\mapsto \operatorname{arcsen}\!\left(t^{2}\right).
  • O limite inferior da integral é a variável x e o limite superior é a constante 0.
  • O domínio indicado é -1<x<1.

Passo 2

Condição para aplicar a forma básica do Teorema Fundamental do Cálculo: se f é contínua numa vizinhança de um ponto e definimos
F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt,
então F é diferenciável nesse ponto e vale
F'(x)=f(x).
Aqui vamos verificar que o integrando é contínuo no intervalo considerado para garantir que o teorema vale: a função t\mapsto t^{2} é contínua em (-1,1); a função \operatorname{arcsen}(u) é contínua para u\in[0,1); a composição \operatorname{arcsen}\!\left(t^{2}\right) é, portanto, contínua em (-1,1). Logo podemos aplicar o TFC.

Passo 3

Observação prática: a forma padrão do TFC dá a derivada quando a variável aparece no limite superior. No nosso caso a variável aparece no limite inferior. Para transformar no caso padrão, use a propriedade básica das integrais:
\int_{x}^{0}\operatorname{arcsen}\!\left(t^{2}\right)\,dt = -\int_{0}^{x}\operatorname{arcsen}\!\left(t^{2}\right)\,dt.
Definindo
H(x)=\int_{0}^{x}\operatorname{arcsen}\!\left(t^{2}\right)\,dt,
temos G(x)=-H(x).

Passo 4

Aplicando o TFC à função H: como o integrando é contínuo,
H'(x)=\operatorname{arcsen}\!\left(x^{2}\right).
Isto vem diretamente da fórmula \dfrac{d}{dx}\int_{0}^{x} f(t)\,dt = f(x), com f(t)=\operatorname{arcsen}\!\left(t^{2}\right).

Passo 5

Voltando para G, como G(x)=-H(x), pela regra da derivada de uma constante vezes função:
G'(x) = -H'(x) = -\operatorname{arcsen}\!\left(x^{2}\right).

Passo 6

Comentário alternativo (mesma conclusão, via fórmula geral): para uma integral com limites dependentes,
\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt = f\big(v(x)\big)\,v'(x) - f\big(u(x)\big)\,u'(x).
No caso u(x)=x, v(x)=0 (logo v'(x)=0 e u'(x)=1), obtemos
G'(x)=0 - \operatorname{arcsen}\!\left(x^{2}\right)\cdot 1 = -\operatorname{arcsen}\!\left(x^{2}\right),
confirmando o resultado anterior.

Resposta

-\operatorname{arcsen}\!\left(x^{2}\right)

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