Exercício 4: Use a
forma do TFC para calcular a derivada das seguintes funções:
b)
b)
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para calcular
usando a
forma do Teorema Fundamental do Cálculo.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- O integrando é
. - O limite inferior da integral é a variável
e o limite superior é a constante . - O domínio indicado é
.
Passo 2
Condição para aplicar a forma básica do Teorema Fundamental do Cálculo: se
é contínua numa vizinhança de um ponto e definimos
então
é diferenciável nesse ponto e vale
Aqui vamos verificar que o integrando é contínuo no intervalo considerado para garantir que o teorema vale: a função
é contínua em
; a função
é contínua para
; a composição
é, portanto, contínua em
. Logo podemos aplicar o TFC.
Passo 3
Observação prática: a forma padrão do TFC dá a derivada quando a variável aparece no limite superior. No nosso caso a variável aparece no limite inferior. Para transformar no caso padrão, use a propriedade básica das integrais:
Definindo
temos
.
Passo 4
Aplicando o TFC à função
: como o integrando é contínuo,
Isto vem diretamente da fórmula
, com
.
Passo 5
Voltando para
, como
, pela regra da derivada de uma constante vezes função:
Passo 6
Comentário alternativo (mesma conclusão, via fórmula geral): para uma integral com limites dependentes,
No caso
,
(logo
e
), obtemos
confirmando o resultado anterior.