Exercício 7.4.4. Utilizando o método descrito acima descubra qual são as cônicas correspondentes as equações abaixo.
x^2+raiz3 x y+2 y^2-1=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar a cônica dada por
x^2 + raiz3,x,y + 2,y^2 - 1 = 0
ou seja, fazer a classificação de uma cônica geral do tipo
A,x^2 + B,x,y + C,y^2 + D,x + E,y + F = 0
usando o discriminante e, em seguida, eliminar o termo misto x,y por rotação de eixos.

Passo 2

Calculemos o discriminante De<a = B^2 - 4,A,C. Aqui
A = 1, B = raiz3, C = 2,
logo
De<a = (raiz3)^2 - 4cdot1cdot2 = 3 - 8 = -5 < 0
Como De<a<0 e não há termos lineares em x ou y, trata-se de uma elipse central.

Passo 3

Para eliminar o termo em x,y fazemos uma rotação de eixos de ângulo theta tal que
tan(2theta) = BA - C = raiz31 - 2 = -raiz3
Portanto
2theta = -pi3 Rightarrow theta = -pi6,
ou seja, uma rotação de -30^circ.

Passo 4

No sistema de coordenadas girado de a matriz quadrática do polinômio
fica diagonal com autovalores
isto é, e .]

Passo 5

A equação original em (x',y') torna-se
lambda1,(x')^2 + lambda2,(y')^2 - 1 = 0,
ou seja
2,5,(x')^2 + 0,5,(y')^2 = 1 Long<=ftrightarrow (x')^21/2,5 + (y')^21/0,5 = 1 Long<=ftrightarrow (x')^20,4 + (y')^22 = 1

Resposta

A curva é uma elipse cujos eixos principais estão girados de -30^circ em relação ao eixo x e cuja equação canónica em coordenadas (x',y') é
(x')^20,4 + (y')^22 = 1

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