Exercício 7.4.4. Utilizando o método descrito acima descubra qual são as cônicas correspondentes as equações abaixo.
x y-2 x+y=4

Passo 1

O enunciado pede para identificar a cônica associada à equação
x,y - 2x + y = 4
O conteúdo é classificação de cônicas gerais do tipo
A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0,
e vamos precisar eliminar o termo em xy por rotação de eixos e depois completar quadrados para chegar à forma canônica.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma geral
0cdot x^2 + 1cdot x y + 0cdot y^2 -2 x +1cdot y -4 = 0,
logo
A = 0, B = 1, C = 0, D = -2, E = 1, F = -4

Passo 3

Para eliminar o termo xy usamos rotação de eixos de ângulo theta tal que
tan(2theta) = BA - C = 10 implies 2theta = pi2 implies theta = pi4

Passo 4

Definimos as novas variáveis (u,v) por
x = u - vraiz2, y = u + vraiz2

Passo 5

Substituindo em x,y - 2x + y = 4:
x,y = (u - v)(u + v)2 = u^2 - v^22,
-2x + y = -2u-vraiz2 + u+vraiz2 = -2u+2v+u+vraiz2 = -u+3vraiz2
Logo a equação vira
u^2 - v^22 + -u+3vraiz2 = 4
Multiplicando por 2:
u^2 - v^2 + raiz2(-u + 3v) = 8

Passo 6

Reescrevemos agrupando termos em u e em v e completamos quadrados:
Para u:
u^2 - raiz2,u = l(u - tfracraiz22r)^2 - tfrac12
Para v:
-,v^2 + 3raiz2,v = -l(v^2 - 3raiz2,vr) = -l(v - tfrac3raiz22r)^2 + tfrac92
Somando e igualando a 8:
l(u - tfracraiz22r)^2 - tfrac12 - l(v - tfrac3raiz22r)^2 + tfrac92 = 8
l(u - tfracraiz22r)^2 - l(v - tfrac3raiz22r)^2 +4 = 8
l(u - tfracraiz22r)^2 - l(v - tfrac3raiz22r)^2 = 4
Dividindo por 4:
l(u - tfracraiz22r)^24 - l(v - tfrac3raiz22r)^24 = 1

Passo 7

A forma canônica
(u - u0)^2a^2 - (v - v0)^2b^2 = 1
é de hipérbole. Aqui a^2 = b^2 = 4 e o centro em coordenadas (u0,v0) = l(tfracraiz22,,tfrac3raiz22r). Convertendo de volta para (x,y):
x = u - vraiz2, y = u + vraiz2 longrightarrow (x0,y0) = (-1,,2)

Resposta

A equação x,y -2x + y = 4 representa uma hipérbole retangular (ou equilateral) com centro em (-1,2) e eixos girados de theta = 45^circ.

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