Exercício 7.4.4. Utilizando o método descrito acima descubra qual são as cônicas correspondentes as equações abaixo.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação geral de segundo grau
e pede para descobrir a qual cônica ela corresponde. O conteúdo é classificação de cônicas através do discriminante e, se necessário, rotação de eixos e translação para a forma canônica.
Passo 2
Identificamos os coeficientes da parte quadrática na forma
A =
,\quad B = -3\sqrt{3},\quad C =
.
Calculamos o discriminante :
Calculamos o discriminante
Como
e
e
têm o mesmo sinal, trata-se de uma elipse.
Passo 3
Para encontrar o centro
resolvemos o sistema das derivadas parciais nulas:
ou seja
Resolvendo esse sistema obtém-se
Passo 4
Para eliminar o termo
, calculamos o ângulo de rotação
tal que
Passo 5
Fazendo a mudança de variáveis
com
, a equação fica na forma sem termo misto:
onde
e
. Ao completar os quadrados chega-se a
com
, confirmando que é uma elipse.
Resposta
A equação dada representa uma elipse.