Exercício 7.4.4. Utilizando o método descrito acima descubra qual são as cônicas correspondentes as equações abaixo.
4 x^2-3 raiz3 x y+7 y^2+12 x+6 y-9=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação geral de segundo grau
4x^2-3raiz3,xy+7y^2+12x+6y-9=0
e pede para descobrir a qual cônica ela corresponde. O conteúdo é classificação de cônicas através do discriminante e, se necessário, rotação de eixos e translação para a forma canônica.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da parte quadrática na forma
Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0:
A = 4,\quad B = -3\sqrt{3},\quad C = 7.
Calculamos o discriminante De<a = B^2-4AC:
De<a = (-3raiz3)^2 -4cdot 4cdot 7 = 27 - 112 = -85 < 0
Como De<a < 0 e A e C têm o mesmo sinal, trata-se de uma elipse.

Passo 3

Para encontrar o centro (x0,y0) resolvemos o sistema das derivadas parciais nulas:
partial fpartial x=2Ax+By+D=0, partial fpartial y=Bx+2Cy+E=0,
ou seja
8x -3raiz3,y +12=0, -3raiz3,x+14y+6=0
Resolvendo esse sistema obtém-se
(x0,y0) =l(-168+18raiz385,,-48+36raiz385r)

Passo 4

Para eliminar o termo xy, calculamos o ângulo de rotação theta tal que
cot 2theta = A - CB = 4-7-3raiz3 = 1raiz3 ;Longrightarrow; 2theta = 60^circ ;Longrightarrow; theta=30^circ

Passo 5

Fazendo a mudança de variáveis
x - x0 = Xcostheta - Ysintheta, y - y0 = Xsintheta + Ycostheta
com theta=30^circ, a equação fica na forma sem termo misto:
A'X^2+C'Y^2 + (termos lineares que comp<=tamos ao quadrado) = 1,
onde A'>0 e C'>0. Ao completar os quadrados chega-se a
X^2a^2 + Y^2b^2 = 1
com a^2,b^2>0, confirmando que é uma elipse.

Resposta

A equação dada representa uma elipse.

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