Exercício 7.4.4. Utilizando o método descrito acima descubra qual são as cônicas correspondentes as equações abaixo.
3 x^2+2 y^2+4 y=4

Passo 1

O enunciado pede para classificar a cônica dada por
3x^2+2y^2+4y=4
O conteúdo é identificação de cônicas por completo de quadrado. Vamos agrupar termos em y, completar o quadrado e colocar na forma canônica.

Passo 2

Agrupando os termos em y temos
3x^2+2l(y^2+2yr)=4
Para completar o quadrado em y note que
y^2+2y=(y+1)^2-1

Passo 3

Substituindo na equação original vem
3x^2+2l((y+1)^2-1r)=4
ou seja
3x^2+2(y+1)^2-2=4
portanto
3x^2+2(y+1)^2=6

Passo 4

Dividindo ambos os lados por 6 obtemos a forma canônica
x^22+(y+1)^23=1

Passo 5

Como os coeficientes de x^2 e (y+1)^2 são positivos e a soma é igual a 1, trata-se de uma elipse centralizada em (0,-1) com semi-eixos
raiz2 ao longo de x e raiz3 ao longo de y.

Resposta

A cônica é uma elipse cuja forma canônica é
x^22+(y+1)^23=1,
com centro em (0,-1), semi-eixo maior raiz3 (vertical) e semi-eixo menor raiz2 (horizontal).

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