Exercício 7.4.4. Utilizando o método descrito acima descubra qual são as cônicas correspondentes as equações abaixo.
11 x^2+6 x y+3 y^2-12 x-12 y-12=0

Passo 1

O enunciado dá a cônica
11x^2+6xy+3y^2-12x-12y-12=0
e pede para descobrir de que tipo ela é e trazê-la à forma canônica. O conteúdo envolvido é classificação de cônicas por meio do discriminante B^2-4AC, determinação do centro (resolvendo nabla f=0), e rotação de eixos (diagonalização da forma quadrática).

Passo 2

Para classificar, note que na forma geral Ax^2+Bxy+Cy^2+cdots=0 temos A=11, B=6, C=3. O discriminante é
De<a = B^2-4AC = 6^2-4cdot11cdot3 =36-132=-96<0,
portanto é uma elipse (não degenerada).

Passo 3

O centro (x0,y0) da cônica obtém-se resolvendo
partial fpartial x=2Ax + By + D =0, partial fpartial y=Bx + 2Cy + E =0,
onde D=-12 e E=-12. Assim
22x +6y -12=0, 6x +6y -12=0
Da segunda vem x+y=2. Substituindo na primeira obtemos 16x=0, logo
(x0,y0)=(0,2)

Passo 4

Fazendo a translação
u = x - 0 = x, v = y - 2,
a cônica fica (ao expandir e simplificar)
11u^2 +6uv +3v^2 =24,
sem termos lineares.

Passo 5

Para diagonalizar a forma quadrática Q(u,v)=11u^2+6uv+3v^2 consideramos a rotação
u = Xcostheta - Ysintheta, v = Xsintheta + Ycostheta
com
tan2theta = BA-C = 611-3 = 34,
de onde
theta = tfrac12arctan!l(tfrac34r)
Os autovalores da matriz associada são
lambda1,2 = A+C2 pm raizl(A-C2r)^2 + l(B2r)^2 =7pm5,
isto é lambda1=12, lambda2=2. Em coordenadas (X,Y) temos
12,X^2 +2,Y^2 =24

Passo 6

Dividindo por 24 obtemos a forma canônica
X^22 + Y^212 =1
Portanto os semieixos são a = raiz2 e b = raiz12=2raiz3, e a elipse está centrada em (0,2) e rotacionada de theta = tfrac12arctan(3/4).

Resposta

A curva é uma elipse centrada em (0,2), rotacionada de
theta=tfrac12arctan!l(tfrac34r), cuja forma canônica é
X^22 + Y^212 =1,
com semieixos raiz2 e 2raiz3.

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