Exercício 7.4.4. Utilizando o método descrito acima descubra qual são as cônicas correspondentes as equações abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a cônica
e pede para descobrir de que tipo ela é e trazê-la à forma canônica. O conteúdo envolvido é classificação de cônicas por meio do discriminante
, determinação do centro (resolvendo
), e rotação de eixos (diagonalização da forma quadrática).
Passo 2
Para classificar, note que na forma geral
temos
,
,
. O discriminante é
portanto é uma elipse (não degenerada).
Passo 3
O centro
da cônica obtém-se resolvendo
onde
e
. Assim
Da segunda vem
. Substituindo na primeira obtemos
, logo
Passo 4
Fazendo a translação
a cônica fica (ao expandir e simplificar)
sem termos lineares.
Passo 5
Para diagonalizar a forma quadrática
consideramos a rotação
com
de onde
Os autovalores da matriz associada são
isto é
,
. Em coordenadas
temos
Passo 6
Dividindo por
obtemos a forma canônica
Portanto os semieixos são
e
, e a elipse está centrada em
e rotacionada de
.
Resposta
A curva é uma elipse centrada em
, rotacionada de
, cuja forma canônica é
com semieixos
e
.