Exercício 1. Utilizando o método de separação de variáveis, resolva as EDOs abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de separação de variáveis. A equação que temos é:
Aqui, vamos precisar entender o que é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem e como aplicar a separação de variáveis para resolvê-la.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis
e
. Adicionamos
em ambos os lados:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Isso significa colocar todas as expressões com
de um lado e todas as com
do outro. Para fazer isso, dividimos ambos os lados por
:
Passo 4
Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar uma função que, ao ser derivada, nos dê a expressão original:
Passo 5
Vamos resolver a integral do lado esquerdo. A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, integramos o lado direito, que é a integral de
:
Aqui, podemos chamar a constante de integração de
para diferenciar das constantes, mas vamos simplificar e usar apenas
.
Passo 7
Agora, igualamos as integrais que calculamos:
Passo 8
Vamos resolver essa equação para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Podemos reescrever
como uma nova constante
:
Passo 9
Agora, invertemos ambos os lados para resolver para
:
Passo 10
Finalmente, isolamos
subtraindo 1 de ambos os lados:
Podemos simplificar a constante
apenas deixando como
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.