Exercício 1. Utilizando o método de separação de variáveis, resolva as EDOs abaixo:
d yd x-(y+1)^2=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de separação de variáveis. A equação que temos é:
dydx - (y + 1)^2 = 0
Aqui, vamos precisar entender o que é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem e como aplicar a separação de variáveis para resolvê-la.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis y e x . Adicionamos (y + 1)^2 em ambos os lados:
dydx = (y + 1)^2

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis y e x . Isso significa colocar todas as expressões com y de um lado e todas as com x do outro. Para fazer isso, dividimos ambos os lados por (y + 1)^2 :
1(y + 1)^2 , dy = dx

Passo 4

Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar uma função que, ao ser derivada, nos dê a expressão original:
integral 1(y + 1)^2 , dy = integral dx

Passo 5

Vamos resolver a integral do lado esquerdo. A integral de 1(y + 1)^2 em relação a y é:
integral 1(y + 1)^2 , dy = -1y + 1 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, integramos o lado direito, que é a integral de dx :
integral dx = x + C
Aqui, podemos chamar a constante de integração de C1 para diferenciar das constantes, mas vamos simplificar e usar apenas C .

Passo 7

Agora, igualamos as integrais que calculamos:
-1y + 1 = x + C

Passo 8

Vamos resolver essa equação para y . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1 :
1y + 1 = -x - C
Podemos reescrever -C como uma nova constante C' :
1y + 1 = -x + C'

Passo 9

Agora, invertemos ambos os lados para resolver para y + 1 :
y + 1 = 1-x + C'

Passo 10

Finalmente, isolamos y subtraindo 1 de ambos os lados:
y = 1-x + C' - 1
Podemos simplificar a constante C' apenas deixando como C :
y = 1-x + C - 1

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 1C - x - 1
Onde C é uma constante arbitrária.

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