Por fim, escreva a equação da cônica.
r=2,51+1,5 sen theta

Passo 1

Então, a gente tem uma equação em coordenadas polares que representa uma cônica. Nosso objetivo é transformar essa equação para o sistema de coordenadas cartesianas (x e y). Para isso, vamos precisar usar as relações entre coordenadas polares e cartesianas e aplicar um pouco de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das relações básicas entre coordenadas polares e cartesianas:
x = r cos theta
y = r sin theta
r = raizx^2 + y^2
Essas fórmulas vão nos ajudar a substituir r e theta na equação original.

Passo 3

A equação que a gente tem é:
r = 2,51 + 1,5 sin theta
Vamos substituir sin theta por yr , já que sin theta = yr :
r = 2,51 + 1,5 cdot yr

Passo 4

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador para eliminar a fração:
r cdot (1 + 1,5 cdot yr) = 2,5
Distribuindo o r :
r + 1,5y = 2,5

Passo 5

Vamos isolar o r :
r = 2,5 - 1,5y
Lembrando que r = raizx^2 + y^2 , substituímos:
raizx^2 + y^2 = 2,5 - 1,5y

Passo 6

Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
x^2 + y^2 = (2,5 - 1,5y)^2
Expandindo o lado direito:
x^2 + y^2 = 6,25 - 7,5y + 2,25y^2

Passo 7

Vamos reorganizar os termos para trazer tudo para um lado da equação:
x^2 + y^2 - 2,25y^2 + 7,5y - 6,25 = 0
x^2 - 1,25y^2 + 7,5y - 6,25 = 0

Passo 8

Para simplificar, podemos multiplicar todos os termos por 4 para eliminar os decimais:
4x^2 - 5y^2 + 30y - 25 = 0

Resposta

A equação da cônica é 4x^2 - 5y^2 + 30y - 25 = 0.

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