Por fim, escreva a equação da cônica.
r=2,51+1,5 cos theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação de uma cônica em coordenadas polares. Nosso objetivo é transformar essa equação para a forma cartesiana, que é aquela que usamos no dia a dia com os eixos x e y. Para isso, vamos precisar saber como converter coordenadas polares para cartesianas e entender um pouquinho sobre as equações das cônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação que a gente recebeu:
r = 2,51 + 1,5 cos theta
Essa é a forma geral da equação de uma cônica em coordenadas polares:
r = ed1 + e cos theta
Aqui, e é a excentricidade da cônica e d é a distância do foco à diretriz. Comparando com a nossa equação, vemos que ed = 2,5 e e = 1,5 .

Passo 3

Agora, vamos converter essa equação polar para a forma cartesiana. Sabemos que:
x = r cos theta
y = r sin theta
r = raizx^2 + y^2
Vamos substituir esses valores na nossa equação polar.

Passo 4

Substituindo na equação:
raizx^2 + y^2 = 2,51 + 1,5 cdot xraizx^2 + y^2
Para facilitar, vamos multiplicar ambos os lados por 1 + 1,5 cdot xraizx^2 + y^2 :
raizx^2 + y^2 (1 + 1,5 cdot xraizx^2 + y^2) = 2,5
Simplificando:
raizx^2 + y^2 + 1,5x = 2,5

Passo 5

Vamos isolar a raiz quadrada:
raizx^2 + y^2 = 2,5 - 1,5x
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
x^2 + y^2 = (2,5 - 1,5x)^2

Passo 6

Explicando o lado direito:
x^2 + y^2 = 6,25 - 7,5x + 2,25x^2
Trazendo todos os termos para um lado da equação:
x^2 + y^2 - 2,25x^2 + 7,5x - 6,25 = 0
Simplificando os termos semelhantes:
-1,25x^2 + y^2 + 7,5x - 6,25 = 0
Multiplicando tudo por -1 para deixar o coeficiente de x^2 positivo:
1,25x^2 - y^2 - 7,5x + 6,25 = 0

Resposta

A equação da cônica em coordenadas cartesianas é:
1,25x^2 - y^2 - 7,5x + 6,25 = 0

Exercícios relacionados