Na função racional no Exemplo 2, o numerador é divisivel exatamente pelo denominador e o quociente é v+1. Dada essa razão, podemos substituir a função diretamente por q=v+1? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado fala de uma função racional
f(v)=N(v)D(v)
em que o numerador N(v) é exatamente divisível pelo denominador D(v) e o quociente dessa divisão é
q(v)=v+1
O conteúdo aqui é simplificação de funções racionais e análise de domínio.

Passo 2

Quando D(v)neq0, a divisão exata nos dá
f(v)=N(v)D(v)=D(v),(v+1)D(v)=v+1
Ou seja, para todo v que não anule D(v), vale
f(v)=q(v)=v+1

Passo 3

Porém, o domínio de f é
,vmid D(v)neq0,
e em cada raiz v0 de D(v) a função f não está definida (há uma descontinuidade removível).

Passo 4

Já a função q(v)=v+1 está definida para todo vinR, inclusive em v0. Isso significa que
f(v)equiv q(v)apenas em;v;tais que;D(v)neq0,
mas em v0 temos f(v0) indefinido e q(v0)=v0+1 definido.

Resposta

Não podemos substituir f(v) globalmente por q(v)=v+1, pois isso ocultaria o ponto em que D(v)=0 e onde f originalmente não estava definida.

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