Por fim, escreva a equação da cônica.
r=2,51-1,5 sen theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação em coordenadas polares: r = 2,51 - 1,5 sin theta . Nosso objetivo é transformar essa equação em uma forma cartesiana, ou seja, usando as coordenadas x e y . Para isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de conversão entre coordenadas polares e cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas básicas de conversão:
x = r cos theta e y = r sin theta
Além disso, sabemos que r = raizx^2 + y^2 . Essas relações vão nos ajudar a substituir r e theta na equação original.

Passo 3

Vamos começar substituindo r pela sua expressão em termos de x e y :
raizx^2 + y^2 = 2,51 - 1,5 sin theta
Agora, precisamos expressar sin theta em termos de y e r . Da fórmula y = r sin theta , temos:
sin theta = yr = yraizx^2 + y^2

Passo 4

Substituindo sin theta na equação, fica:
raizx^2 + y^2 = 2,51 - 1,5 ( yraizx^2 + y^2 )
Vamos simplificar o denominador:
1 - 1,5 yraizx^2 + y^2 = raizx^2 + y^2 - 1,5 yraizx^2 + y^2
Assim, a equação fica:
raizx^2 + y^2 = 2,5 raizx^2 + y^2raizx^2 + y^2 - 1,5 y

Passo 5

Agora, vamos multiplicar ambos os lados pela expressão no denominador para eliminar a fração:
raizx^2 + y^2 ( raizx^2 + y^2 - 1,5 y ) = 2,5 raizx^2 + y^2
Distribuindo o raizx^2 + y^2 :
(x^2 + y^2) - 1,5 y raizx^2 + y^2 = 2,5 raizx^2 + y^2

Passo 6

Vamos isolar os termos com raizx^2 + y^2 :
x^2 + y^2 = 2,5 raizx^2 + y^2 + 1,5 y raizx^2 + y^2
Fatorando raizx^2 + y^2 :
x^2 + y^2 = raizx^2 + y^2 (2,5 + 1,5 y)

Passo 7

Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado:
(x^2 + y^2)^2 = (raizx^2 + y^2 (2,5 + 1,5 y))^2
Calculando o lado direito:
(x^2 + y^2)^2 = (x^2 + y^2)(2,5 + 1,5 y)^2
Expandindo (2,5 + 1,5 y)^2 :
(2,5 + 1,5 y)^2 = 6,25 + 7,5 y + 2,25 y^2
Então, temos:
(x^2 + y^2)^2 = (x^2 + y^2)(6,25 + 7,5 y + 2,25 y^2)

Passo 8

Dividindo os dois lados por x^2 + y^2 (assumindo que x^2 + y^2 neq 0 ):
x^2 + y^2 = 6,25 + 7,5 y + 2,25 y^2
Reorganizando os termos:
x^2 + y^2 - 2,25 y^2 - 7,5 y - 6,25 = 0
Simplificando:
x^2 - 1,25 y^2 - 7,5 y - 6,25 = 0

Passo 9

Para deixar a equação mais apresentável, podemos multiplicar todos os termos por 4 para eliminar os decimais:
4x^2 - 5 y^2 - 30 y - 25 = 0
Então, rearranjando:
4x^2 - 5 y^2 - 30 y = 25

Resposta

A equação cartesiana da cônica é:
4x^2 - 5 y^2 - 30 y = 25

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