Por fim, escreva a equação da cônica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação em coordenadas polares:
. Nosso objetivo é transformar essa equação em uma forma cartesiana, ou seja, usando as coordenadas
e
. Para isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de conversão entre coordenadas polares e cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas básicas de conversão:
Além disso, sabemos que
. Essas relações vão nos ajudar a substituir
e
na equação original.
Passo 3
Vamos começar substituindo
pela sua expressão em termos de
e
:
Agora, precisamos expressar
em termos de
e
. Da fórmula
, temos:
Passo 4
Substituindo
na equação, fica:
Vamos simplificar o denominador:
Assim, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar ambos os lados pela expressão no denominador para eliminar a fração:
Distribuindo o
:
Passo 6
Vamos isolar os termos com
:
Fatorando
:
Passo 7
Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Calculando o lado direito:
Expandindo
:
Então, temos:
Passo 8
Dividindo os dois lados por
(assumindo que
):
Reorganizando os termos:
Simplificando:
Passo 9
Para deixar a equação mais apresentável, podemos multiplicar todos os termos por 4 para eliminar os decimais:
Então, rearranjando:
Resposta
A equação cartesiana da cônica é: