I_{7}=\int_{2}^{4} \frac{2 d x}{x^{2}-6 x+10}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I7 = integral2^4 2,dxx^2 - 6x + 10
O conteúdo principal é integração de função racional por meio de completar o quadrado no denominador e usar a forma padrão
integral duu^2+1 = arctan(u) + C

Passo 2

Começamos completando o quadrado em
x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 6x + 9) + 1 = (x - 3)^2 + 1

Passo 3

Fazemos a substituição
u = x - 3, du = dx,
de modo que o integrando fica
2,dx(x - 3)^2 + 1 = 2,duu^2 + 1

Passo 4

A integral indefinida é
integral 2,duu^2 + 1 = 2,arctan(u) + C = 2,arctan(x - 3) + C

Passo 5

Agora avaliamos de x=2 até x=4:
I7 = 2l[arctan(4-3) - arctan(2-3)r] = 2l(arctan(1) - arctan(-1)r) = 2l(tfracpi4 - l(-tfracpi4r)r) = pi

Resposta

pi

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