Questão. Encontre os pontos críticos da função h dada.
h(x)=x^{2} e^{-3 x}

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos da função
h(x) = x^2 e^-3x
Este é um problema de cálculo de derivada e resolução da equação h'(x)=0. Vamos usar a regra do produto e a derivada da exponencial para encontrar h'(x) e então determinar onde ela se anula ou deixa de existir.

Passo 2

Aplicando a regra do produto a
h(x) = x^2 cdot e^-3x,
temos
h'(x) = (x^2)',e^-3x + x^2,(e^-3x)'
Como (x^2)' = 2x e (e^-3x)' = -3,e^-3x, segue
h'(x) = 2x,e^-3x + x^2(-3),e^-3x = e^-3xl(2x - 3x^2r)

Passo 3

Fatoramos a expressão obtida:
h'(x) = e^-3x,x,(2 - 3x)
Note que e^-3x nunca é zero para xinR, então as soluções de h'(x)=0 vêm de
x = 0 ou 2 - 3x = 0

Passo 4

Da equação 2 - 3x = 0 isolamos x:
3x = 2 Longrightarrow x = tfrac23
Não há pontos em que h'(x) deixe de existir, pois é produto de funções diferenciáveis em toda reta.

Resposta

Os pontos críticos de h são
x = 0
e
x = tfrac23

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