Exercício 3: (Valor 10) Determine se a função é contínua, caso contrário, determine os pontos onde seja descontínua, justificando sua resposta.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para determinar os pontos de continuidade ou descontinuidade. O conteúdo aqui é análise de continuidade de funções definidas por partes, usando limites e simplificação algébrica.
Passo 2
Primeiro encontramos o domínio natural da primeira expressão:
x^2-1neq0implies xneqpm1
A ramificação diz “xneq1” para essa expressão, mas em x=1 definiram g(1)=tfrac12. Já em x=-1 não há definição válida (denominador nulo). Logo o domínio de g é
D=l(Rsetminuspm1r)cup1=Rsetminus-1
Passo 3
Para todo xneqpm 1 (e em particular para xneq 1), fazemos a fatoração
x^2-xx^2-1 =x(x-1)(x-1)(x+1) =xx+1,
pois x-1neq 0 nessa parte do domínio. Portanto, nessa região g(x)=xx+1, que é uma função racional contínua sempre que x+1neq 0, i.e.\ para xneq -1.
Passo 4
Concluímos que para todo ponto ain D com aneq1, ou seja aneqpm1, g é contínua porque coincide com x/(x+1) numa vizinhança de a.
Passo 5
Em x=1 temos
limxto1g(x) =limxto1xx+1 =11+1 =12,
e a definição fixa g(1)=tfrac12. Como o limite lateral existe e coincide com o valor de g(1), a função é contínua em x=1.
Passo 6
Em x=-1 a função não está definida (denominador zero) e o limite limxto-1x/(x+1) tende a infinito, caracterizando uma descontinuidade infinita (ou assíntota vertical) em x=-1.
Resposta
A função g é contínua em todo xinRsetminus-1 (inclusive em x=1) e apresenta descontinuidade em x=-1.