Exercício 3: (Valor 10) Determine se a função é contínua, caso contrário, determine os pontos onde seja descontínua, justificando sua resposta.
g(x)=llx^2-xx^2-1 & x neq 1 12 & x=1

Passo 1

O enunciado nos dá a função
g(x)= dfracx^2-xx^2-1,&xneq1, dfrac12,&x=1,
e pede para determinar os pontos de continuidade ou descontinuidade. O conteúdo aqui é análise de continuidade de funções definidas por partes, usando limites e simplificação algébrica.

Passo 2

Primeiro encontramos o domínio natural da primeira expressão:
x^2-1neq0implies xneqpm1
A ramificação diz “ xneq1” para essa expressão, mas em x=1 definiram g(1)=tfrac12. Já em x=-1 não há definição válida (denominador nulo). Logo o domínio de g é
D=l(Rsetminuspm1r)cup1=Rsetminus-1

Passo 3

Para todo xneqpm 1 (e em particular para xneq 1), fazemos a fatoração
x^2-xx^2-1 =x(x-1)(x-1)(x+1) =xx+1,
pois x-1neq 0 nessa parte do domínio. Portanto, nessa região g(x)=xx+1, que é uma função racional contínua sempre que x+1neq 0, i.e.\ para xneq -1.

Passo 4

Concluímos que para todo ponto ain D com aneq1, ou seja aneqpm1, g é contínua porque coincide com x/(x+1) numa vizinhança de a.

Passo 5

Em x=1 temos
limxto1g(x) =limxto1xx+1 =11+1 =12,
e a definição fixa g(1)=tfrac12. Como o limite lateral existe e coincide com o valor de g(1), a função é contínua em x=1.

Passo 6

Em x=-1 a função não está definida (denominador zero) e o limite
limxto-1x/(x+1) tende a infinito, caracterizando uma descontinuidade infinita (ou assíntota vertical) em x=-1.

Resposta

A função g é contínua em todo xinRsetminus-1 (inclusive em x=1) e apresenta descontinuidade em x=-1.

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