Exercício 5: (Valor 20) Determine os pontos onde a função dada é diferenciável e encontre a derivada nesses pontos, caso contrário justifique porque a função não é diferenciável.
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Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por
para todo
diferente de zero (
). O objetivo aqui é descobrir em quais pontos essa função é diferenciável e, nesses pontos, achar a derivada. Se houver algum ponto onde a função não seja diferenciável, precisamos explicar o porquê. Para isso, vamos precisar entender o que é diferenciabilidade e como calcular derivadas de funções racionais.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, uma função é diferenciável em um ponto se ela tem uma derivada nesse ponto, ou seja, se podemos traçar uma reta tangente à curva da função naquele ponto. Para funções como a nossa, que é uma fração de polinômios, a diferenciabilidade costuma depender da existência da função (não pode ter divisão por zero) e da suavidade dos polinômios envolvidos.
Passo 3
Vamos analisar onde a função está definida. A função
está definida para todo
diferente de zero, porque não podemos dividir por zero. Então, o domínio da função é
. Isso significa que precisamos verificar a diferenciabilidade em todos os
diferentes de zero.
Passo 4
Agora, vamos simplificar a função para facilitar o cálculo da derivada. Podemos dividir cada termo no numerador pelo denominador:
Então, a função simplificada é
.
Passo 5
Com a função simplificada, podemos calcular a derivada usando as regras básicas de derivação. A derivada de
é 1, e a derivada de
é
(usando a regra do poder, que diz que
).
Então, a derivada de
é:
Passo 6
Agora, precisamos verificar onde essa derivada está definida. A expressão
está definida para todo
diferente de zero, já que não podemos ter divisão por zero. Portanto, a derivada existe para todo
em
.
Passo 7
Finalmente, concluímos que a função
é diferenciável em todos os pontos onde está definida, ou seja, para todo
diferente de zero. E a derivada nesses pontos é
.
Resposta
A função
é diferenciável para todo
, e a derivada nesses pontos é
.