Exercício 5: (Valor 20) Determine os pontos onde a função dada é diferenciável e encontre a derivada nesses pontos, caso contrário justifique porque a função não é diferenciável.
f: R^* R, f(x)=x^3-1x^2;

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por f(x) = x^3 - 1x^2 para todo x diferente de zero ( R^* ). O objetivo aqui é descobrir em quais pontos essa função é diferenciável e, nesses pontos, achar a derivada. Se houver algum ponto onde a função não seja diferenciável, precisamos explicar o porquê. Para isso, vamos precisar entender o que é diferenciabilidade e como calcular derivadas de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, uma função é diferenciável em um ponto se ela tem uma derivada nesse ponto, ou seja, se podemos traçar uma reta tangente à curva da função naquele ponto. Para funções como a nossa, que é uma fração de polinômios, a diferenciabilidade costuma depender da existência da função (não pode ter divisão por zero) e da suavidade dos polinômios envolvidos.

Passo 3

Vamos analisar onde a função está definida. A função f(x) = x^3 - 1x^2 está definida para todo x diferente de zero, porque não podemos dividir por zero. Então, o domínio da função é R^* = R setminus 0 . Isso significa que precisamos verificar a diferenciabilidade em todos os x diferentes de zero.

Passo 4

Agora, vamos simplificar a função para facilitar o cálculo da derivada. Podemos dividir cada termo no numerador pelo denominador:
f(x) = x^3x^2 - 1x^2 = x - x^-2
Então, a função simplificada é f(x) = x - 1x^2 .

Passo 5

Com a função simplificada, podemos calcular a derivada usando as regras básicas de derivação. A derivada de x é 1, e a derivada de x^-2 é -2x^-3 (usando a regra do poder, que diz que ddxx^n = nx^n-1 ).
Então, a derivada de f(x) é:
f'(x) = 1 - (-2x^-3) = 1 + 2x^3

Passo 6

Agora, precisamos verificar onde essa derivada está definida. A expressão 1 + 2x^3 está definida para todo x diferente de zero, já que não podemos ter divisão por zero. Portanto, a derivada existe para todo x em R^* .

Passo 7

Finalmente, concluímos que a função f(x) = x^3 - 1x^2 é diferenciável em todos os pontos onde está definida, ou seja, para todo x diferente de zero. E a derivada nesses pontos é f'(x) = 1 + 2x^3 .

Resposta

A função f(x) = x^3 - 1x^2 é diferenciável para todo x neq 0 , e a derivada nesses pontos é f'(x) = 1 + 2x^3 .

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