Exercício 4: (Valor 10) Mostre que existe pelo menos uma raiz para o polinômio no intervalo dado.
se
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o polinômio
tem pelo menos uma raiz no intervalo
. Isso envolve o Teorema do Valor Intermediário, que basicamente diz que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, ela deve cruzar o eixo x nesse intervalo, ou seja, tem pelo menos uma raiz lá.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o polinômio para facilitar os cálculos. Somando os termos semelhantes:
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor de
nos extremos do intervalo, ou seja, em
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Observamos que
e
. Ou seja, o polinômio passa de negativo para positivo ao passar de
para
.
Passo 5
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, ela deve cruzar o eixo x nesse intervalo. Como
é um polinômio, ele é contínuo em todos os lugares, incluindo no intervalo
.
Resposta
Portanto, existe pelo menos uma raiz do polinômio
no intervalo
.