Exercício 4: (Valor 10) Mostre que existe pelo menos uma raiz para o polinômio no intervalo dado.
p(x)=x^3-4 x+x+3 se x in[-3,-2];

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o polinômio p(x) = x^3 - 4x + x + 3 tem pelo menos uma raiz no intervalo [-3, -2]. Isso envolve o Teorema do Valor Intermediário, que basicamente diz que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, ela deve cruzar o eixo x nesse intervalo, ou seja, tem pelo menos uma raiz lá.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o polinômio para facilitar os cálculos. Somando os termos semelhantes:
p(x) = x^3 - 4x + x + 3 = x^3 - 3x + 3

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor de p(x) nos extremos do intervalo, ou seja, em x = -3 e x = -2 .
Calculando p(-3) :
p(-3) = (-3)^3 - 3(-3) + 3 = -27 + 9 + 3 = -15
Calculando p(-2) :
p(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 3 = -8 + 6 + 3 = 1

Passo 4

Observamos que p(-3) = -15 e p(-2) = 1 . Ou seja, o polinômio passa de negativo para positivo ao passar de x = -3 para x = -2 .

Passo 5

De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, ela deve cruzar o eixo x nesse intervalo. Como p(x) é um polinômio, ele é contínuo em todos os lugares, incluindo no intervalo [-3, -2].

Resposta

Portanto, existe pelo menos uma raiz do polinômio p(x) = x^3 - 3x + 3 no intervalo [-3, -2].

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