Leia com atenção. Justifique suas respostas. Use palavras para conectar suas ideias.
Usando o método de integração por partes, calcule uma primitiva de x e^-x, isto é, calcule integral x e^-x d x.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva de x e^-x usando integração por partes. O conteúdo aqui é a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
e vamos escolher adequadamente u e dv para simplificar a integral.

Passo 2

Escolhemos
u = x, dv = e^-x,dx
Assim teremos
du = dx e v = integral e^-x,dx = -e^-x
Esse v foi obtido reconhecendo que a derivada de -e^-x é e^-x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes,
integral x e^-x,dx = u,v - integral v,du = xl(-e^-xr) - integral l(-e^-xr),dx
Note que o sinal menos dentro da integral vai trocar o sinal do segundo termo.

Passo 4

Continuando a simplificação,
integral x e^-x,dx = -x e^-x + integral e^-x,dx
Agora reconhecemos novamente que integral e^-x,dx = -e^-x, então

Passo 5

integral x e^-x,dx = -x e^-x - e^-x + C = -l(x+1r)e^-x + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

-l(x+1r)e^-x + C

Exercícios relacionados