Exercício 1. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço vetorial do espaço vetorial (V,+, cdot).
V=M2(R), munido das operações usuais e W=(cca & b -a & c) ; a, b, c, in R.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial
V = M2(R)
com as operações usuais e o subconjunto
W = a & b -a & c ; a,b,cinR
Para mostrar que W é subespaço vetorial de V, vamos verificar:
  1. 0Vin W.
  2. Se X,Yin W então X+Yin W.
  3. Se Xin W e lambdainR então lambda Xin W.

Passo 2

Verificação de 0Vin W.
O vetor nulo de V é a matriz nula
0V = 0 & 0 0 & 0
Basta ver que existe a,b,c tais que
a & b -a & c = 0 & 0 0 & 0,
logo a=0, b=0, c=0. Portanto 0Vin W.

Passo 3

Fechamento sob soma.
Tomemos
X = a1 & b1 -a1 & c1, Y = a2 & b2 -a2 & c2
ambas em W. Então
X+Y = a1+a2 & b1+b2 -(a1+a2) & c1+c2
Como a1+a2, b1+b2 e c1+c2 são reais, a soma tem a mesma forma e pertence a W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja lambdainR e
X = a & b -a & cin W
Então
lambda X = lambda a & lambda b -lambda a & lambda c,
e como lambda a,lambda b,lambda cinR, segue lambda Xin W.

Passo 5

Como W contém o zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de V.

Resposta

Sim. W é subespaço vetorial de M2(R).

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