Exercício 1. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
.
, munido das operações usuais e
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
com as operações usuais e o subconjunto
Para mostrar que
W é subespaço vetorial de
V , vamos verificar:
-
.0Vin W - Se
entãoX,Yin W .X+Yin W - Se
eXin W entãolambdainR .lambda Xin W
Passo 2
Verificação de
0Vin W .
O vetor nulo deV é a matriz nula
O vetor nulo de
Basta ver que existe
a,b,c tais que
logo
a=0 ,
b=0 ,
c=0 . Portanto
0Vin W .
Passo 3
Fechamento sob soma.
Tomemos
Tomemos
ambas em
W . Então
Como
a1+a2 ,
b1+b2 e
c1+c2 são reais, a soma tem a mesma forma e pertence a
W .
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar.
SejalambdainR e
Seja
Então
e como
lambda a,lambda b,lambda cinR , segue
lambda Xin W .
Passo 5
Como
W contém o zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar, concluímos que
W é subespaço vetorial de
V .
Resposta
Sim.
W é subespaço vetorial de
M2(R) .