Exercício 1. Verifique se em cada um dos itens o conjunto V, munido das operações indicadas, é um espaço vetorial sobre R.
V=R^2, munido das operações
(x1, y1) oplus(x2, y2) & =(x1+x2, y1+y2) alpha odot(x, y) & =(alpha x, 0)
onde (x1, y1),(x2, y2),(x, y) in R^2.

Passo 1

O enunciado define V=R^2 com a soma usual
(x1,y1)oplus(x2,y2)=(x1+x2,;y1+y2)
e a multiplicação por escalar “estranha”
alphaodot(x,y)=(alpha x,;0)
A tarefa é verificar se essas operações fazem de V um espaço vetorial real, isto é, se satisfazem todos os axiomas de espaço vetorial (fechamento, associatividade, elemento neutro, inverso aditivo, distributividade e elemento escalar neutro).

Passo 2

Já que a soma está inalterada, os axiomas envolvendo só soma (associatividade, comutatividade, neutro (0,0) e inverso (x,y)) são válidos. Falta então checar os axiomas que envolvem escalar, em especial o axioma que exige
1odot(x,y) = (x,y)
para todo (x,y)in V.

Passo 3

Usando a definição dada,
1odot(x,y) = (1cdot x,;0) = (x,0)
Em geral (x,0)neq(x,y) sempre que yneq0. Logo o axioma do elemento escalar neutro falha, e portanto V não é um espaço vetorial sobre R.

Resposta

V não é um espaço vetorial sobre R.

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