Exercício 1. Verifique se em cada um dos itens o conjunto
, munido das operações indicadas, é um espaço vetorial sobre
.
, munido das operações
onde
.
Passo 1
O enunciado define
com a soma usual
e a multiplicação por escalar “estranha”
A tarefa é verificar se essas operações fazem de
um espaço vetorial real, isto é, se satisfazem todos os axiomas de espaço vetorial (fechamento, associatividade, elemento neutro, inverso aditivo, distributividade e elemento escalar neutro).
Passo 2
Já que a soma está inalterada, os axiomas envolvendo só soma (associatividade, comutatividade, neutro
e inverso
) são válidos. Falta então checar os axiomas que envolvem escalar, em especial o axioma que exige
para todo
.
Passo 3
Usando a definição dada,
Em geral
sempre que
. Logo o axioma do elemento escalar neutro falha, e portanto
não é um espaço vetorial sobre
.