Exercício 1. Verifique se em cada um dos itens o conjunto V, munido das operações indicadas, é um espaço vetorial sobre R.
V=mathscrP(R)= polinômios com coeficientes reais , munido das operações usuais de funções.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
V = mathscr P(R) = ,p(x)=anx^n+cdots+a1x+a0mid aiinR,,ninN
munido das operações usuais de soma e multiplicação escalar de funções, é um espaço vetorial sobre R. Para isso, vamos usar a definição de espaço vetorial: precisamos mostrar que V é um grupo abeliano sob adição de polinômios, que está fechado sob multiplicação escalar e que satisfaz os axiomas de distributividade, associatividade, existência de neutro e inverso, compatibilidade do escalar etc.

Passo 2

Definimos, para p,qin V e alphainR:
(p+q)(x)=p(x)+q(x),
(alpha,p)(x)=alphacdot p(x)
Sejam
p(x)=anx^n+cdots+a0, q(x)=bmx^m+cdots+b0
Então
(p+q)(x)=(an+bn)x^n+cdots+(a0+b0)
é um polinômio em V, e
(alpha,p)(x)=(alpha an)x^n+cdots+(alpha a0)
também é um polinômio em V. Logo, V é fechado sob soma e escalar.

Passo 3

O polinômio zero
0(x)=0
está em V e satisfaz p+0=p para todo p. Para cada pin V, o polinômio
(-p)(x)=-,p(x)
está em V e é o inverso aditivo de p. Assim, (V,+) é um grupo abeliano.

Passo 4

As demais propriedades seguem diretamente das propriedades de R:
  1. Associatividade e comutatividade da adição de polinômios vêm da associatividade e comutatividade da adição em R.
  2. Distributividade do escalar sobre soma de vetores e de escalares, associatividade do escalar e elemento neutro 1cdot p=p também decorrem das leis usuais de R.
Como todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos, concluímos que V é um espaço vetorial sobre R.

Resposta

Sim. mathscr P(R), com a soma e o produto escalar pontuais, é um espaço vetorial sobre R.

Exercícios relacionados