Exercício 1. Verifique se em cada um dos itens o conjunto
, munido das operações indicadas, é um espaço vetorial sobre
.
polinômios com coeficientes reais
, munido das operações usuais de funções.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
munido das operações usuais de soma e multiplicação escalar de funções, é um espaço vetorial sobre
. Para isso, vamos usar a definição de espaço vetorial: precisamos mostrar que
é um grupo abeliano sob adição de polinômios, que está fechado sob multiplicação escalar e que satisfaz os axiomas de distributividade, associatividade, existência de neutro e inverso, compatibilidade do escalar etc.
Passo 2
Definimos, para
e
:
Sejam
Então
é um polinômio em
, e
também é um polinômio em
. Logo,
é fechado sob soma e escalar.
Passo 3
O polinômio zero
está em
e satisfaz
para todo
. Para cada
, o polinômio
está em
e é o inverso aditivo de
. Assim,
é um grupo abeliano.
Passo 4
As demais propriedades seguem diretamente das propriedades de
:
- Associatividade e comutatividade da adição de polinômios vêm da associatividade e comutatividade da adição em
. - Distributividade do escalar sobre soma de vetores e de escalares, associatividade do escalar e elemento neutro
também decorrem das leis usuais de .
Como todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos, concluímos que
é um espaço vetorial sobre
.
Resposta
Sim.
, com a soma e o produto escalar pontuais, é um espaço vetorial sobre
.