Exercício 2. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço vetorial do espaço vetorial ( V,+, \cdot ).
V=M_{2}(\mathbb{R}), munido das operações usuais e W=\left\{\left(\begin{array}{cc}a & b \\\\ -a & c\end{array}\right) ; a, b, c, \in \mathbb{R}\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=M_{2}(\mathbb{R}) com as operações usuais (adição de matrizes e multiplicação por escalar) e o subconjunto
W=\left\{\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] -a & c\end{pmatrix} \; ;\; a,b,c\in\mathbb{R}\right\}.
A pergunta é: verificar se W é um subespaço vetorial de V. Ou seja, preciso decidir se W satisfaz as propriedades necessárias para ser subespaço.]

Passo 2

Primeiro lembro (de forma bem didática) a definição prática que vou usar: um subconjunto W\subseteq V é subespaço vetorial de V se e somente se satisfaça três condições equivalentes (vou usar a versão com duas condições mais uma verificação óbvia):
  1. W não é vazio (ou contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob adição: para quaisquer u,v\in W, temos u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: para qualquer \lambda\in\mathbb{R} e u\in W, temos \lambda u\in W.
Vou checar essas três propriedades passo a passo. Explico: a ideia é que somar dois elementos de W não pode sair de W, e multiplicar por qualquer número real também não pode sair de W. Se isso for verdade e o zero estiver em W, então W é subespaço.

Passo 3

Verifico se o vetor zero (a matriz nula) pertence a W. A matriz nula em M_2(\mathbb{R}) é
O=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Posso obter O em W escolhendo a=0, b=0, c=0. Então O\in W. Logo W não é vazio e contém o zero — primeira condição satisfeita.]

Passo 4

Verifico fechamento por adição. Tomo duas matrizes arbitrárias em W:
A=\begin{pmatrix}a_1 & b_1\\[4pt] -a_1 & c_1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}a_2 & b_2\\[4pt] -a_2 & c_2\end{pmatrix},
com a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2\in\mathbb{R} (essas variáveis representam números reais quaisquer). Somando as matrizes (operador usual, elemento a elemento) obtenho
A+B=\begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2\\[4pt] -(a_1+a_2) & c_1+c_2\end{pmatrix}.
Essa matriz tem exatamente a forma exigida para pertencer a W: é da forma \begin{pmatrix}a & b\\[4pt] -a & c\end{pmatrix} com a=a_1+a_2, b=b_1+b_2, c=c_1+c_2, todos reais. Portanto A+B\in W. Assim W é fechado sob adição.]

Passo 5

Verifico fechamento por multiplicação por escalar. Seja \lambda\in\mathbb{R} e tome uma matriz arbitrária em W,
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] -a & c\end{pmatrix}.
Multiplicando por \lambda (escalar real) obtemos
\lambda A=\begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b\\[4pt] -\lambda a & \lambda c\end{pmatrix}.
Novamente essa matriz tem a forma \begin{pmatrix}a' & b'\\[4pt] -a' & c'\end{pmatrix} com a'=\lambda a, b'=\lambda b, c'=\lambda c, que são números reais. Logo \lambda A\in W. Portanto W é fechado sob multiplicação por escalar.]

Passo 6

Como W contém o zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de V. Para solidificar a intuição (não pedido, mas útil na prova): qualquer matriz de W pode ser escrita como combinação linear de três matrizes independentes. Por exemplo, definindo
E_1=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix},\quad E_2=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\quad E_3=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
temos para quaisquer a,b,c\in\mathbb{R}
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] -a & c\end{pmatrix}=aE_1+bE_2+cE_3.
Os E_1,E_2,E_3 são linearmente independentes, portanto formam uma base de W e mostram que \dim(W)=3. Essa parte é útil se te perguntarem dimensão ou base na prova.]

Resposta

Sim, W é subespaço vetorial de V.

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