Exercício 2. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço vetorial do espaço vetorial ( V,+, \cdot ). V=M_{2}(\mathbb{R}), munido das operações usuais e W=\left\{\left(\begin{array}{cc}a & b \\\\ -a & c\end{array}\right) ; a, b, c, \in \mathbb{R}\right\}.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial V=M_{2}(\mathbb{R}) com as operações usuais (adição de matrizes e multiplicação por escalar) e o subconjunto
W=\left\{\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] -a & c\end{pmatrix} \; ;\; a,b,c\in\mathbb{R}\right\}.
A pergunta é: verificar se W é um subespaço vetorial de V. Ou seja, preciso decidir se W satisfaz as propriedades necessárias para ser subespaço.]
Passo 2
Primeiro lembro (de forma bem didática) a definição prática que vou usar: um subconjunto W\subseteq V é subespaço vetorial de V se e somente se satisfaça três condições equivalentes (vou usar a versão com duas condições mais uma verificação óbvia):
W não é vazio (ou contém o vetor zero).
W é fechado sob adição: para quaisquer u,v\in W, temos u+v\in W.
W é fechado sob multiplicação por escalar: para qualquer \lambda\in\mathbb{R} e u\in W, temos \lambda u\in W.
Vou checar essas três propriedades passo a passo. Explico: a ideia é que somar dois elementos de W não pode sair de W, e multiplicar por qualquer número real também não pode sair de W. Se isso for verdade e o zero estiver em W, então W é subespaço.
Passo 3
Verifico se o vetor zero (a matriz nula) pertence a W. A matriz nula em M_2(\mathbb{R}) é
O=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Posso obter O em W escolhendo a=0, b=0, c=0. Então O\in W. Logo W não é vazio e contém o zero — primeira condição satisfeita.]
Passo 4
Verifico fechamento por adição. Tomo duas matrizes arbitrárias em W:
Essa matriz tem exatamente a forma exigida para pertencer a W: é da forma \begin{pmatrix}a & b\\[4pt] -a & c\end{pmatrix} com a=a_1+a_2, b=b_1+b_2, c=c_1+c_2, todos reais. Portanto A+B\in W. Assim W é fechado sob adição.]
Passo 5
Verifico fechamento por multiplicação por escalar. Seja \lambda\in\mathbb{R} e tome uma matriz arbitrária em W,
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] -a & c\end{pmatrix}.
Multiplicando por \lambda (escalar real) obtemos
\lambda A=\begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b\\[4pt] -\lambda a & \lambda c\end{pmatrix}.
Novamente essa matriz tem a forma \begin{pmatrix}a' & b'\\[4pt] -a' & c'\end{pmatrix} com a'=\lambda a, b'=\lambda b, c'=\lambda c, que são números reais. Logo \lambda A\in W. Portanto W é fechado sob multiplicação por escalar.]
Passo 6
Como W contém o zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de V. Para solidificar a intuição (não pedido, mas útil na prova): qualquer matriz de W pode ser escrita como combinação linear de três matrizes independentes. Por exemplo, definindo
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] -a & c\end{pmatrix}=aE_1+bE_2+cE_3.
Os E_1,E_2,E_3 são linearmente independentes, portanto formam uma base de W e mostram que \dim(W)=3. Essa parte é útil se te perguntarem dimensão ou base na prova.]