Exercício 1. Verifique se em cada um dos itens o conjunto
, munido das operações indicadas, é um espaço vetorial sobre
.
, munido das operações usuais de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto
definido por todos os pares
em
que satisfazem a equação
. Nosso objetivo aqui é verificar se esse conjunto, com as operações normais de adição e multiplicação por escalar que a gente conhece de
, forma um espaço vetorial sobre os números reais
. Para fazer isso, vamos usar os conceitos de espaços vetoriais e verificar se todas as propriedades necessárias estão de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre
é um conjunto de vetores que, além de conter o vetor nulo, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, e ainda satisfaz várias outras propriedades como associatividade, comutatividade da adição, existência de inversos, etc. Mas para simplificar, vamos focar principalmente na existência do vetor nulo e na clausura sob adição e multiplicação por escalar.
Passo 3
Vamos verificar se o vetor nulo está em
. O vetor nulo em
é
. Vamos ver se ele satisfaz a equação
:
Como a equação é satisfeita, o vetor nulo está em
.
Passo 4
Agora, vamos checar se
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
. Vamos chamar dois vetores de
e
, onde
e
.
A soma desses vetores é:
Vamos verificar se essa soma está em
:
Como a soma satisfaz a equação,
é fechado sob adição.
Passo 5
Agora, vamos verificar a clausura sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos um vetor qualquer em
e multiplicarmos por qualquer número real
, o resultado também deve estar em
. Vamos pegar
em
, onde
, e um escalar
.
A multiplicação por escalar é:
Vamos checar se esse vetor está em
:
Então,
satisfaz a equação e está em
.
Resposta
Sim, o conjunto
com as operações usuais de
é um espaço vetorial sobre
.