Exercício 1. Verifique se em cada um dos itens o conjunto V, munido das operações indicadas, é um espaço vetorial sobre R.
V=(x, y) in R^2 ; 3 x-2 y=0, munido das operações usuais de R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto V definido por todos os pares (x, y) em R^2 que satisfazem a equação 3x - 2y = 0. Nosso objetivo aqui é verificar se esse conjunto, com as operações normais de adição e multiplicação por escalar que a gente conhece de R^2, forma um espaço vetorial sobre os números reais R. Para fazer isso, vamos usar os conceitos de espaços vetoriais e verificar se todas as propriedades necessárias estão de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre R é um conjunto de vetores que, além de conter o vetor nulo, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, e ainda satisfaz várias outras propriedades como associatividade, comutatividade da adição, existência de inversos, etc. Mas para simplificar, vamos focar principalmente na existência do vetor nulo e na clausura sob adição e multiplicação por escalar.

Passo 3

Vamos verificar se o vetor nulo está em V . O vetor nulo em R^2 é (0, 0). Vamos ver se ele satisfaz a equação 3x - 2y = 0:
3(0) - 2(0) = 0 - 0 = 0
Como a equação é satisfeita, o vetor nulo está em V .

Passo 4

Agora, vamos checar se V é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em V , a soma deles também deve estar em V . Vamos chamar dois vetores de u = (x1, y1) e v = (x2, y2) , onde 3x1 - 2y1 = 0 e 3x2 - 2y2 = 0.
A soma desses vetores é:
u + v = (x1 + x2, y1 + y2)
Vamos verificar se essa soma está em V :
3(x1 + x2) - 2(y1 + y2) = 3x1 + 3x2 - 2y1 - 2y2 = (3x1 - 2y1) + (3x2 - 2y2) = 0 + 0 = 0
Como a soma satisfaz a equação, V é fechado sob adição.

Passo 5

Agora, vamos verificar a clausura sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos um vetor qualquer em V e multiplicarmos por qualquer número real c , o resultado também deve estar em V . Vamos pegar u = (x, y) em V , onde 3x - 2y = 0, e um escalar c in R .
A multiplicação por escalar é:
c cdot u = (c x, c y)
Vamos checar se esse vetor está em V :
3(c x) - 2(c y) = c(3x) - c(2y) = c(3x - 2y) = c cdot 0 = 0
Então, c cdot u satisfaz a equação e está em V .

Resposta

Sim, o conjunto V com as operações usuais de R^2 é um espaço vetorial sobre R.

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