1/4 A force is specified by the vector \mathbf{F}=120 \mathbf{i}-160 \mathbf{j}+ 80 \mathbf{k} \mathrm{lb}. Calculate the angles made by \mathbf{F} with the positive x-, y-, and z-axes.

Passo 1

O enunciado dá a força vetor
\mathbf{F}=120\,\mathbf{i}-160\,\mathbf{j}+80\,\mathbf{k}\\ \mathrm{lb}
e pede os ângulos que \mathbf{F} faz com os eixos positivos x, y e z.
Informações relevantes:
  • Componentes de \mathbf{F}: \,F_x=120\,,\;F_y=-160\,,\;F_z=80.
  • Precisamos encontrar os ângulos \alpha,\beta,\gamma tais que:
    • \alpha = ângulo entre \mathbf{F} e o eixo x positivo,
    • \beta = ângulo entre \mathbf{F} e o eixo y positivo,
    • \gamma = ângulo entre \mathbf{F} e o eixo z positivo.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático).
O ângulo entre um vetor \mathbf{F} e o eixo x é dado pela relação dos cossenos diretores:
\cos\alpha=\frac{F_x}{\lVert \mathbf{F}\rVert}, \qquad \cos\beta=\frac{F_y}{\lVert \mathbf{F}\rVert}, \qquad \cos\gamma=\frac{F_z}{\lVert \mathbf{F}\rVert}.
Explicando cada símbolo:
  • \lVert \mathbf{F}\rVert é o módulo (norma) do vetor \mathbf{F}, isto é a distância do ponto origem até as coordenadas (F_x,F_y,F_z).
  • \cos\alpha é o cosseno do ângulo que queremos; conhecendo \cos\alpha obtemos \alpha=\operatorname{arccos}(\cos\alpha).
    Na prova: calcule primeiro \lVert \mathbf{F}\rVert, depois divida cada componente por esse módulo e aplique \operatorname{arccos} (no modo graus, se for pedir graus).

Passo 3

Calcular o módulo \lVert \mathbf{F}\rVert. Fórmula do módulo em 3D:
\lVert \mathbf{F}\rVert=\sqrt{F_x^{2}+F_y^{2}+F_z^{2}}.
Substituindo os valores:
\lVert \mathbf{F}\rVert=\sqrt{120^{2}+(-160)^{2}+80^{2}} =\sqrt{14400+25600+6400} =\sqrt{46400}.
Fatorando \sqrt{46400}:
46400=1600\cdot29=(40^{2})\cdot29 \quad\Rightarrow\quad \lVert \mathbf{F}\rVert=40\sqrt{29}\\ \mathrm{lb}.

Passo 4

Calcular os cossenos diretores dividindo cada componente pelo módulo:
\cos\alpha=\frac{120}{40\sqrt{29}}=\frac{3}{\sqrt{29}},
\cos\beta=\frac{-160}{40\sqrt{29}}=-\frac{4}{\sqrt{29}},
\cos\gamma=\frac{80}{40\sqrt{29}}=\frac{2}{\sqrt{29}}.
Verificação rápida (consistência): soma dos quadrados
\left(\frac{3}{\sqrt{29}}\right)^{2}+\left(-\frac{4}{\sqrt{29}}\right)^{2}+\left(\frac{2}{\sqrt{29}}\right)^{2} =\frac{9+16+4}{29}=\frac{29}{29}=1,
o que confirma que os valores são corretos como cossenos diretores.

Passo 5

Passar dos cossenos para os ângulos usando \operatorname{arccos} (resultado em graus). Fórmula de conversão se precisar é \theta_{\text{deg}}=\dfrac{180}{\pi}\theta_{\text{rad}}, mas normalmente usa-se a função \operatorname{arccos} da calculadora no modo graus.
Cálculos:
\alpha=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{3}{\sqrt{29}}\right)\approx 56,15^\circ,
\beta=\operatorname{arccos}\!\left(-\frac{4}{\sqrt{29}}\right)\approx 137,97^\circ,
\gamma=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{2}{\sqrt{29}}\right)\approx 68,20^\circ.
Comentário prático para a prova: faça exatamente esses passos na calculadora — primeiro calcule \sqrt{29}, depois as frações \dfrac{3}{\sqrt{29}}, -\dfrac{4}{\sqrt{29}}, \dfrac{2}{\sqrt{29}} e então use \operatorname{arccos} com saída em graus.

Resposta

\alpha\approx56,15^\circ
\beta\approx137,97^\circ
\gamma\approx68,20^\circ

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