7 No estudo de crescimento populacional, considera-se que a população de uma cidade decresce de acordo com o seguinte modelo:
P_{c}(t)=P_{c \max } \cdot e^{-0.05 \cdot t}+P_{c \min }
Por outro lado, a população da periferia (subúrbio) cresce de acordo com o seguinte modelo:
P_{s}(t)=P_{s \min } \cdot e^{0.075 \cdot t}
Tem-se que:
\begin{aligned} & P_{c \max }=75000 \\\ & P_{c \min }=100000 \\\ & P_{s \min }=5000 \end{aligned}
Deseja-se determinar o tempo no qual a população da cidade ( P_{c} ) será superior em 20 \% em relação à população do subúrbio ( P_{s} ). Efetue as três primeiras iterações utilizando o método de Newton-Raphson, e calcule o erro relativo em cada uma. Adotar t_{0}=50.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pergunta: determinar o tempo t em que a população da cidade P_{c} será superior em 20\% à população do subúrbio P_{s}. Em vez de achar o instante exato, pediu-se executar as três primeiras iterações do método de Newton-Raphson começando em t_{0}=50 e calcular o erro relativo em cada iteração.
  • Dados fornecidos:
    • P_{c}(t)=P_{c\max}\cdot e^{-0{,}05\cdot t}+P_{c\min}.
    • P_{s}(t)=P_{s\min}\cdot e^{0{,}075\cdot t}.
    • P_{c\max}=75000.
    • P_{c\min}=100000.
    • P_{s\min}=5000.
  • Condição a impor: P_{c}(t) é superior em 20\% a P_{s}(t), ou seja P_{c}(t)=1{,}2\;P_{s}(t).
  • Escolha natural a partir daqui: transformar a condição acima numa função f(t) cuja raiz corresponde ao instante desejado e aplicar Newton-Raphson a partir de t_{0}=50.
  • Observação: calcular o erro relativo entre iterações conforme a definição que vou usar no próximo passo.

Passo 2

Definir a equação a resolver e explicar o método de Newton-Raphson.
  • Vamos definir a função f(t) cuja raiz satisfaz a condição P_{c}(t)=1{,}2P_{s}(t). Substituindo as fórmulas: f(t)=P_{c}(t)-1{,}2\,P_{s}(t)=75000\,e^{-0{,}05t}+100000-6000\,e^{0{,}075t}.(Repare que 1{,}2\cdot P_{s\min}=1{,}2\cdot 5000=6000.)
  • Derivada f'(t) (necessária para o método de Newton-Raphson): derivando termo a termo, f'(t)=-0{,}05\cdot 75000\,e^{-0{,}05t}-0{,}075\cdot 6000\,e^{0{,}075t}ou simplificando os coeficientes, f'(t)=-3750\,e^{-0{,}05t}-450\,e^{0{,}075t}.
  • Método de Newton-Raphson (fórmula): dada uma aproximação t_{n}, t_{n+1}=t_{n}-\dfrac{f(t_{n})}{f'(t_{n})}.Isto dá uma nova aproximação melhor (quando f'(t_n)\neq 0).
  • Erro relativo: vou usar a definição E_{n}=\left|\dfrac{t_{n+1}-t_{n}}{t_{n+1}}\right|e expressarei em porcentagem quando for mostrado.
Agora aplico a fórmula explicitando os cálculos para três iterações, começando em t_{0}=50.

Passo 3

Iteração 1 (de t_{0}=50 para t_{1}). Calculei passo a passo os expoentes, f e f'.
  • Primeiro calcule as exponenciais necessárias: e^{-0{,}05\cdot 50}=e^{-2{,}5}\approx 0{,}0820849986, \qquad e^{0{,}075\cdot 50}=e^{3{,}75}\approx 42{,}521082.
  • Avaliar f(50): f(50)=75000\cdot 0{,}0820849986 +100000 -6000\cdot 42{,}521082
\phantom{f(50)}\approx 6156{,}3749 +100000 -255126{,}492
\phantom{f(50)}\approx -148970{,}1171.
  • Avaliar f'(50): f'(50)=-3750\cdot 0{,}0820849986 -450\cdot 42{,}521082
\phantom{f'(50)}\approx -307{,}8187 -19134{,}4869
\phantom{f'(50)}\approx -19442{,}3056.
  • Aplicar Newton: t_{1}=50-\dfrac{f(50)}{f'(50)}=50-\dfrac{-148970{,}1171}{-19442{,}3056}.Calculando a fração dá aproximadamente 7{,}662061, logo t_{1}\approx 50-7{,}662061=42{,}337939.
  • Erro relativo entre t_{0} e t_{1}: E_{0}=\left|\dfrac{t_{1}-t_{0}}{t_{1}}\right| =\left|\dfrac{42{,}337939-50}{42{,}337939}\right| \approx 0{,}18111\quad\text{(ou }18{,}111\%\text{)}.

Passo 4

Iteração 2 (de t_{1} para t_{2}). Repito os mesmos passos numéricos com t_{1}=42{,}337939.
  • Exponenciais: e^{-0{,}05\cdot 42{,}337939}=e^{-2{,}11689695}\approx 0{,}1203819,
e^{0{,}075\cdot 42{,}337939}=e^{3{,}17534543}\approx 23{,}932821.
  • Avaliar f(t_{1}): f(t_{1})=75000\cdot 0{,}1203819 +100000 -6000\cdot 23{,}932821
\phantom{f(t_{1})}\approx 9028{,}6425 +100000 -143596{,}926
\phantom{f(t_{1})}\approx -34568{,}2835.
  • Avaliar f'(t_{1}): f'(t_{1})=-3750\cdot 0{,}1203819 -450\cdot 23{,}932821
\phantom{f'(t_{1})}\approx -451{,}4321 -10769{,}7695
\phantom{f'(t_{1})}\approx -11221{,}2016.
  • Aplicar Newton: t_{2}=t_{1}-\dfrac{f(t_{1})}{f'(t_{1})} \approx 42{,}337939-\dfrac{-34568{,}2835}{-11221{,}2016}
\phantom{t_{2}}\approx 42{,}337939-3{,}079936=39{,}258003.
  • Erro relativo entre t_{1} e t_{2}: E_{1}=\left|\dfrac{t_{2}-t_{1}}{t_{2}}\right| =\left|\dfrac{39{,}258003-42{,}337939}{39{,}258003}\right| \approx 0{,}07845\quad\text{(ou }7{,}845\%\text{)}.

Passo 5

Iteração 3 (de t_{2} para t_{3}). Uso t_{2}=39{,}258003.
  • Exponenciais: e^{-0{,}05\cdot 39{,}258003}=e^{-1{,}96290015}\approx 0{,}1404441,
e^{0{,}075\cdot 39{,}258003}=e^{2{,}94435023}\approx 18{,}999262.
  • Avaliar f(t_{2}): f(t_{2})=75000\cdot 0{,}1404441 +100000 -6000\cdot 18{,}999262
\phantom{f(t_{2})}\approx 10533{,}3075 +100000 -113995{,}572
\phantom{f(t_{2})}\approx -3462{,}2645.
  • Avaliar f'(t_{2}): f'(t_{2})=-3750\cdot 0{,}1404441 -450\cdot 18{,}999262
\phantom{f'(t_{2})}\approx -526{,}6654 -8549{,}6680
\phantom{f'(t_{2})}\approx -9076{,}3334.
  • Aplicar Newton: t_{3}=t_{2}-\dfrac{f(t_{2})}{f'(t_{2})} \approx 39{,}258003-\dfrac{-3462{,}2645}{-9076{,}3334}
\phantom{t_{3}}\approx 39{,}258003-0{,}381513=38{,}876490.
  • Erro relativo entre t_{2} e t_{3}: E_{2}=\left|\dfrac{t_{3}-t_{2}}{t_{3}}\right| =\left|\dfrac{38{,}876490-39{,}258003}{38{,}876490}\right| \approx 0{,}009811\quad\text{(ou }0{,}9811\%\text{)}.

Resposta

t_{1}\approx 42{,}337939,\quad E_{0}\approx 18{,}111\%
t_{2}\approx 39{,}258003,\quad E_{1}\approx 7{,}845\%
t_{3}\approx 38{,}876490,\quad E_{2}\approx 0{,}9811\%

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