Deseja-se determinar o tempo no qual a população da cidade ( P_{c} ) será superior em 20 \% em relação à população do subúrbio ( P_{s} ). Efetue as três primeiras iterações utilizando o método de Newton-Raphson, e calcule o erro relativo em cada uma. Adotar t_{0}=50.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
Pergunta: determinar o tempo t em que a população da cidade P_{c} será superior em 20\% à população do subúrbio P_{s}. Em vez de achar o instante exato, pediu-se executar as três primeiras iterações do método de Newton-Raphson começando em t_{0}=50 e calcular o erro relativo em cada iteração.
Condição a impor: P_{c}(t) é superior em 20\% a P_{s}(t), ou sejaP_{c}(t)=1{,}2\;P_{s}(t).
Escolha natural a partir daqui: transformar a condição acima numa função f(t) cuja raiz corresponde ao instante desejado e aplicar Newton-Raphson a partir de t_{0}=50.
Observação: calcular o erro relativo entre iterações conforme a definição que vou usar no próximo passo.
Passo 2
Definir a equação a resolver e explicar o método de Newton-Raphson.
Vamos definir a função f(t) cuja raiz satisfaz a condição P_{c}(t)=1{,}2P_{s}(t). Substituindo as fórmulas:f(t)=P_{c}(t)-1{,}2\,P_{s}(t)=75000\,e^{-0{,}05t}+100000-6000\,e^{0{,}075t}.(Repare que 1{,}2\cdot P_{s\min}=1{,}2\cdot 5000=6000.)
Derivada f'(t) (necessária para o método de Newton-Raphson): derivando termo a termo,f'(t)=-0{,}05\cdot 75000\,e^{-0{,}05t}-0{,}075\cdot 6000\,e^{0{,}075t}ou simplificando os coeficientes,f'(t)=-3750\,e^{-0{,}05t}-450\,e^{0{,}075t}.
Método de Newton-Raphson (fórmula): dada uma aproximação t_{n},t_{n+1}=t_{n}-\dfrac{f(t_{n})}{f'(t_{n})}.Isto dá uma nova aproximação melhor (quando f'(t_n)\neq 0).
Erro relativo: vou usar a definiçãoE_{n}=\left|\dfrac{t_{n+1}-t_{n}}{t_{n+1}}\right|e expressarei em porcentagem quando for mostrado.
Agora aplico a fórmula explicitando os cálculos para três iterações, começando em t_{0}=50.
Passo 3
Iteração 1 (de t_{0}=50 para t_{1}). Calculei passo a passo os expoentes, f e f'.
Primeiro calcule as exponenciais necessárias:e^{-0{,}05\cdot 50}=e^{-2{,}5}\approx 0{,}0820849986, \qquad e^{0{,}075\cdot 50}=e^{3{,}75}\approx 42{,}521082.
Aplicar Newton:t_{1}=50-\dfrac{f(50)}{f'(50)}=50-\dfrac{-148970{,}1171}{-19442{,}3056}.Calculando a fração dá aproximadamente 7{,}662061, logot_{1}\approx 50-7{,}662061=42{,}337939.
Erro relativo entre t_{0} e t_{1}:E_{0}=\left|\dfrac{t_{1}-t_{0}}{t_{1}}\right| =\left|\dfrac{42{,}337939-50}{42{,}337939}\right| \approx 0{,}18111\quad\text{(ou }18{,}111\%\text{)}.
Passo 4
Iteração 2 (de t_{1} para t_{2}). Repito os mesmos passos numéricos com t_{1}=42{,}337939.
Erro relativo entre t_{1} e t_{2}:E_{1}=\left|\dfrac{t_{2}-t_{1}}{t_{2}}\right| =\left|\dfrac{39{,}258003-42{,}337939}{39{,}258003}\right| \approx 0{,}07845\quad\text{(ou }7{,}845\%\text{)}.
Passo 5
Iteração 3 (de t_{2} para t_{3}). Uso t_{2}=39{,}258003.
Erro relativo entre t_{2} e t_{3}:E_{2}=\left|\dfrac{t_{3}-t_{2}}{t_{3}}\right| =\left|\dfrac{38{,}876490-39{,}258003}{38{,}876490}\right| \approx 0{,}009811\quad\text{(ou }0{,}9811\%\text{)}.