Informação dada: todos os elementos da matriz estão acima; não há informações adicionais.
Passo 2
O que significa “autovalores” e qual método vou usar (sem pular etapas).
Autovalores (ou valores próprios) de uma matriz quadrada A são os escalares \lambda tais que existe um vetor não-nulo v com A v=\lambda v.
Para encontrá-los usamos a equação característica \det(A-\lambda I)=0, onde I é a matriz identidade da mesma ordem. Ou seja, temos que calcular o determinante de A-\lambda I, obter um polinômio em \lambda (o polinômio característico) e resolver igualando a zero.
Vou aplicar essa receita passo a passo para a matriz 3\times3 dada.
Passo 3
Formar a matriz A-\lambda I. Subtrair \lambda dos elementos da diagonal principal:
Calcular o determinante \det(A-\lambda I) por expansão (fórmula do determinante para 3\times3). Vou usar a regra de Sarrus / expansão por cofatores na primeira linha. Denotando os elementos como
Multiplicando por -1 (isso não altera as raízes), obtemos o polinômio característico mais simples:
\lambda^{3}-6\lambda^{2}+11\lambda-6=0.
Passo 7
Determinar as raízes do polinômio característico. Vou tentar raízes inteiras pequenas usando o teorema do resto (teste de raízes racionais óbvias). Testando \lambda=1:
1^{3}-6\cdot1^{2}+11\cdot1-6=1-6+11-6=0,
logo \lambda=1 é raiz. Então fatoramos (\lambda-1). Dividindo o polinômio por (\lambda-1) (pode-se usar divisão ou observar fatoração conhecida), obtemos
Concluir os autovalores: as raízes da equação característica são \lambda=1, \lambda=2 e \lambda=3. Esses são todos os autovalores da matriz A. (Se quiser, pode-se verificar substituindo cada valor em \det(A-\lambda I) e confirmando que dá zero.)