Exercício 1. Determine os autovalores da matriz \left(\begin{array}{rrc}1,5 & 0,5 & -0,5 \\\\ -0,5 & 2,5 & 0,5 \\\\ -1 & 1 & 2\end{array}\right).

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pede: determinar os autovalores da matriz A=\begin{pmatrix}1,5 & 0,5 & -0,5 \\\\ -0,5 & 2,5 & 0,5 \\\\ -1 & 1 & 2\end{pmatrix}.
  • Informação dada: todos os elementos da matriz estão acima; não há informações adicionais.

Passo 2

O que significa “autovalores” e qual método vou usar (sem pular etapas).
  • Autovalores (ou valores próprios) de uma matriz quadrada A são os escalares \lambda tais que existe um vetor não-nulo v com A v=\lambda v.
  • Para encontrá-los usamos a equação característica \det(A-\lambda I)=0, onde I é a matriz identidade da mesma ordem. Ou seja, temos que calcular o determinante de A-\lambda I, obter um polinômio em \lambda (o polinômio característico) e resolver igualando a zero.
  • Vou aplicar essa receita passo a passo para a matriz 3\times3 dada.

Passo 3

Formar a matriz A-\lambda I. Subtrair \lambda dos elementos da diagonal principal:
A-\lambda I= \begin{pmatrix} 1,5-\lambda & 0,5 & -0,5\\[4pt] -0,5 & 2,5-\lambda & 0,5\\[4pt] -1 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular o determinante \det(A-\lambda I) por expansão (fórmula do determinante para 3\times3). Vou usar a regra de Sarrus / expansão por cofatores na primeira linha. Denotando os elementos como
a=1,5-\lambda,\quad b=0,5,\quad c=-0,5,
d=-0,5,\quad e=2,5-\lambda,\quad f=0,5,
g=-1,\quad h=1,\quad i=2-\lambda,
temos a fórmula
\det(A-\lambda I)=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
Agora calculo cada termo auxiliar separadamente.

Passo 5

Calcular os menores que aparecem:
  1. Calcular ei-fh:
ei-fh=(2,5-\lambda)(2-\lambda)-0,5\cdot 1.
Expandindo,
(2,5-\lambda)(2-\lambda)=5-4,5\lambda+\lambda^{2},
logo
ei-fh=\lambda^{2}-4,5\lambda+4,5.
  1. Calcular di-fg:
di-fg=(-0,5)(2-\lambda)-0,5\cdot(-1).
Compute passo a passo:
(-0,5)(2-\lambda)=-1+0,5\lambda,
adição de +0,5
di-fg=0,5\lambda-0,5.
  1. Calcular dh-eg:
dh-eg=(-0,5)\cdot 1-(2,5-\lambda)(-1)=-0,5+2,5-\lambda=2-\lambda.

Passo 6

Substituir tudo na expressão do determinante:
\det(A-\lambda I)=(1,5-\lambda)\bigl(\lambda^{2}-4,5\lambda+4,5\bigr) -0,5\bigl(0,5\lambda-0,5\bigr) -0,5\bigl(2-\lambda\bigr).
Agora eu vou expandir termo a termo com contas detalhadas.
Expandindo o primeiro produto:
(1,5-\lambda)(\lambda^{2}-4,5\lambda+4,5)
=1,5\lambda^{2}-1,5\cdot 4,5\lambda+1,5\cdot 4,5-\lambda\lambda^{2}+4,5\lambda^{2}-4,5\lambda
=-\lambda^{3}+(1,5+4,5)\lambda^{2}+(-6,75-4,5)\lambda+6,75
=-\lambda^{3}+6\lambda^{2}-11,25\lambda+6,75.
Expandindo o segundo termo:
-0,5(0,5\lambda-0,5)=-0,25\lambda+0,25.
Expandindo o terceiro termo:
-0,5(2-\lambda)=-1+0,5\lambda.
Somando tudo:
\det(A-\lambda I)=\bigl(-\lambda^{3}+6\lambda^{2}-11,25\lambda+6,75\bigr)+\bigl(-0,25\lambda+0,25\bigr)+\bigl(-1+0,5\lambda\bigr).
Agrupando termos semelhantes:
  • Coeficiente de \lambda^{3}: -1.
  • Coeficiente de \lambda^{2}: 6.
  • Coeficiente de \lambda: -11,25-0,25+0,5=-11.
  • Termo constante: 6,75+0,25-1=6.
Portanto
\det(A-\lambda I)=-\lambda^{3}+6\lambda^{2}-11\lambda+6.
Multiplicando por -1 (isso não altera as raízes), obtemos o polinômio característico mais simples:
\lambda^{3}-6\lambda^{2}+11\lambda-6=0.

Passo 7

Determinar as raízes do polinômio característico. Vou tentar raízes inteiras pequenas usando o teorema do resto (teste de raízes racionais óbvias). Testando \lambda=1:
1^{3}-6\cdot1^{2}+11\cdot1-6=1-6+11-6=0,
logo \lambda=1 é raiz. Então fatoramos (\lambda-1). Dividindo o polinômio por (\lambda-1) (pode-se usar divisão ou observar fatoração conhecida), obtemos
\lambda^{3}-6\lambda^{2}+11\lambda-6=(\lambda-1)(\lambda^{2}-5\lambda+6).
O quadrático \lambda^{2}-5\lambda+6 fatoriza como
\lambda^{2}-5\lambda+6=(\lambda-2)(\lambda-3).
Portanto o polinômio se fatoriza completamente:
\lambda^{3}-6\lambda^{2}+11\lambda-6=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3).

Passo 8

Concluir os autovalores: as raízes da equação característica são \lambda=1, \lambda=2 e \lambda=3. Esses são todos os autovalores da matriz A. (Se quiser, pode-se verificar substituindo cada valor em \det(A-\lambda I) e confirmando que dá zero.)

Resposta

\lambda=1
\lambda=2
\lambda=3

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