Exercício 2. Verifique se as seguintes matrizes estão na forma escalonada reduzida.
[ccccc0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -2 & 4 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -2 & 4 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0
está na forma escalonada reduzida (RREF). Para isso precisamos lembrar que uma matriz está em RREF se satisfaz simultaneamente:
  1. Está em forma escalonada: todas as linhas nulas estão abaixo das não nulas, e cada pivot aparece à direita do pivot da linha acima.
  2. Cada pivot vale 1.
  3. Em cada coluna de pivot, todos os outros elementos são zero (ou seja, zeros acima e abaixo do pivot).

Passo 2

Verificamos a forma escalonada (condição 1): em A temos duas linhas inteiramente nulas (linha 1 e linha 4). Para estar em forma escalonada todas as linhas nulas deveriam ficar na parte de baixo da matriz. Aqui a linha 1 é nula mas está acima da linha 2, que é não nula. Logo essa condição já falha.

Passo 3

Mesmo que ignorássemos a posição da primeira linha nula, os pivots são:
  • pivot da linha 2 em coluna 3 (valor 1),
  • pivot da linha 3 em coluna 4 (valor 1).
    A condição 3 exigiria que na coluna 4 só existisse esse 1 e zeros em todas as outras posições. Mas em A, na coluna 4 temos o valor -2 em linha 2, que está acima do pivot de linha 3. Logo falha também a exigência de zeros acima do pivot.

Resposta

A matriz não está na forma escalonada reduzida.

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