P1 - GA - Turma BCC - 30/04/2024
Escreva de maneira legível e organizando bem as ideias. Nas questões abaixo assuma que é uma base ortonormal positiva.
(a) Sabendo que a área do paralelogramo gerado por e é , o ângulo entre e é de 45 graus e , determine .
(b) Determine a norma do vetor obtido com a projeção ortogonal de sobre .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Geometria Analítica! A questão tem duas partes:
(a) Temos dois vetores, e . Sabemos a área do paralelogramo que eles formam, o ângulo entre eles e o tamanho de . Precisamos descobrir o tamanho de .
(b) Depois, queremos saber qual é a norma (ou comprimento) do vetor que resulta da projeção ortogonal de sobre .
Para resolver, vamos precisar saber sobre produto vetorial, área de paralelogramos, ângulos entre vetores e projeção vetorial.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a). A área do paralelogramo formado por e pode ser calculada usando o produto vetorial:
Onde:
é o comprimento de ,
é o comprimento de ,
é o ângulo entre e .
Passo 3
Sabemos que:
Área = ,
,
.
Queremos encontrar .
Substituindo os valores na fórmula:
Sabemos que . Então:
Passo 4
Simplificando a equação:
Agora, para encontrar , dividimos ambos os lados por :
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar a norma da projeção ortogonal de sobre .