P1 - GA - Turma BCC - 30/04/2024
Escreva de maneira legível e organizando bem as ideias. Nas questões abaixo assuma que beta=i, j, k é uma base ortonormal positiva.
(a) Sabendo que a área do paralelogramo gerado por u e v é raiz2, o ângulo entre u e v é de 45 graus e |u|=2, determine |v|.
(b) Determine a norma do vetor obtido com a projeção ortogonal de u sobre v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Geometria Analítica! A questão tem duas partes:
(a) Temos dois vetores, u e v. Sabemos a área do paralelogramo que eles formam, o ângulo entre eles e o tamanho de u. Precisamos descobrir o tamanho de v.
(b) Depois, queremos saber qual é a norma (ou comprimento) do vetor que resulta da projeção ortogonal de u sobre v.
Para resolver, vamos precisar saber sobre produto vetorial, área de paralelogramos, ângulos entre vetores e projeção vetorial.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a). A área do paralelogramo formado por u e v pode ser calculada usando o produto vetorial:
Área = |u times v| = |u| cdot |v| cdot sin(theta) Á
Onde:
  • |u| é o comprimento de u,
  • |v| é o comprimento de v,
  • theta é o ângulo entre u e v.

Passo 3

Sabemos que:
  • Área = raiz2,
  • theta = 45^circ,
  • |u| = 2.
Queremos encontrar |v|.
Substituindo os valores na fórmula:
raiz2 = 2 cdot |v| cdot sin(45^circ)
Sabemos que sin(45^circ) = raiz22. Então:
raiz2 = 2 cdot |v| cdot raiz22

Passo 4

Simplificando a equação:
raiz2 = 2 cdot |v| cdot raiz22 raiz2 = |v| cdot raiz2
Agora, para encontrar |v|, dividimos ambos os lados por raiz2:
|v| = raiz2raiz2 = 1

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar a norma da projeção ortogonal de u sobre v.
A projeção de u sobre v é dada por:
Projv u = ( u cdot v|v|^2 ) v
A norma dessa projeção é:
| Projv u | = | u cdot v|v| |

Passo 6

Primeiro, calculamos o produto escalar u cdot v:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
Sabemos que:
  • |u| = 2,
  • |v| = 1 (do nosso passo anterior),
  • theta = 45^circ,
  • cos(45^circ) = raiz22.
Então:
u cdot v = 2 cdot 1 cdot raiz22 = raiz2

Passo 7

Agora, calculamos a norma da projeção:
| Projv u | = | raiz21 | = raiz2

Resposta

(a) |v| = 1
(b) | Projv u | = raiz2

Exercícios relacionados