Exercício 1: Verifique se W é um subespaço vetorial de V :
W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & x \\\ x+y & x+z & y+z \\\\ 3 x & y-z & 2 x\end{array}\right) \right\rvert\, x, y, z \in \mathbb{R}\right\} ;\quad V=M_{3}

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = M_{3}(\mathbb{R}) e o subconjunto
W = \Bigl\{\;\begin{pmatrix} 0 & 0 & x\\\ x+y & x+z & y+z\\\\ 3x & y - z & 2x \end{pmatrix}\;\Bigm|\;x,y,z\in\mathbb{R}\Bigr\}.
Para mostrar que W é subespaço de V, vamos checar:
  1. W contém o vetor zero;
  2. W é fechado sob adição;
  3. W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificação do elemento zero: na parametrização de W, se tomarmos x=0, y=0, z=0, obtemos
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0+0 & 0+0 & 0+0\\\\ 3\cdot0 & 0-0 & 2\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
que é a matriz zero de M_{3}(\mathbb{R}). Logo, 0\in W.

Passo 3

Fechadura sob adição: sejam
A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & x_1\\\ x_1+y_1 & x_1+z_1 & y_1+z_1\\\\ 3x_1 & y_1-z_1 & 2x_1 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & x_2\\\ x_2+y_2 & x_2+z_2 & y_2+z_2\\\\ 3x_2 & y_2-z_2 & 2x_2 \end{pmatrix},
com x_i,y_i,z_i\in\mathbb{R}. Então
A+B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & x_1+x_2\\\ (x_1+y_1)+(x_2+y_2) & (x_1+z_1)+(x_2+z_2) & (y_1+z_1)+(y_2+z_2)\\\\ 3(x_1+x_2) & (y_1+y_2)-(z_1+z_2) & 2(x_1+x_2) \end{pmatrix}.
Definindo x' = x_1+x_2, y' = y_1+y_2, z' = z_1+z_2, vemos que A+B tem exatamente a forma genérica de um elemento de W. Logo, A+B\in W.

Passo 4

Fechadura sob multiplicação escalar: seja \lambda\in\mathbb{R} e
A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & x\\\ x+y & x+z & y+z\\\\ 3x & y-z & 2x \end{pmatrix}\in W.
Então
\lambda A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \lambda x\\\ \lambda(x+y) & \lambda(x+z) & \lambda(y+z)\\\\ 3\lambda x & \lambda(y-z) & 2\lambda x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & x'\\\ x'+y' & x'+z' & y'+z'\\\\ 3x' & y'-z' & 2x' \end{pmatrix},
onde x'=\lambda x, y'=\lambda y, z'=\lambda z. Assim, \lambda A\in W.

Passo 5

Como W contém o zero, é fechado sob adição e sob multiplicação escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de V.

Resposta

W é subespaço vetorial de V=M_{3}(\mathbb{R}).

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