Exercício 1: Verifique se W é um subespaço vetorial de V : W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & x \\\ x+y & x+z & y+z \\\\ 3 x & y-z & 2 x\end{array}\right) \right\rvert\, x, y, z \in \mathbb{R}\right\} ;\quad V=M_{3}
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial V = M_{3}(\mathbb{R}) e o subconjunto
W = \Bigl\{\;\begin{pmatrix} 0 & 0 & x\\\ x+y & x+z & y+z\\\\ 3x & y - z & 2x \end{pmatrix}\;\Bigm|\;x,y,z\in\mathbb{R}\Bigr\}.
Para mostrar que W é subespaço de V, vamos checar:
W contém o vetor zero;
W é fechado sob adição;
W é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificação do elemento zero: na parametrização de W, se tomarmos x=0, y=0, z=0, obtemos