Exercício 1: Verifique se W é um subespaço vetorial de V :
W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) \right\rvert\, a+c+d=0,2 a-b=0\right\} ;\quad V=M_{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = \left\{\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\in M_{2} \mid a + c + d = 0,\;2a - b = 0\right\}
é subespaço de V = M_{2}. Para isso, podemos mostrar que W é o núcleo de uma transformação linear ou verificar diretamente que contém o zero, é fechado em soma e em multiplicação por escalar.

Passo 2

Definimos a transformação
L\colon M_{2} \to \mathbb{R}^{2}
por
L\!\Bigl(\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\Bigr) = (\,a + c + d,\;2a - b\,).
Então
W = \bigl\{X\in M_{2}\mid L(X)=(0,0)\bigr\} = \ker(L).

Passo 3

A transformação L é linear porque cada coordenada é combinação linear das entradas de \begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}. Sabe-se que o núcleo de uma aplicação linear é sempre subespaço vetorial. Logo, W=\ker(L) é subespaço de M_{2}.

Resposta

W é subespaço vetorial de V.

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