Exercício 1: Verifique se W é um subespaço vetorial de V :
W=\left\{a x^{2}+x \mid a \in \mathbb{R}\right\} ;\quad V=P_{2}

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V = P_{2} (polinômios de grau <=2) e o subconjunto
W = \{\,a x^{2} + x \mid a \in \mathbb{R}\}.
Para que W seja subespaço vetorial de V, precisamos verificar três condições:
  1. W não pode estar vazio (deve conter o polinômio zero).
  2. W deve ser fechado sob soma.
  3. W deve ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Vamos verificar a existência do polinômio zero em W. O polinômio zero em V é
0_V = 0\cdot x^2 + 0\cdot x + 0.
Mas um elemento arbitrário de W tem a forma
p(x) = a x^2 + x,
onde o coeficiente de x é sempre 1. Para que p(x) seja o polinômio zero, precisaríamos ter coeficiente de x igual a 0, o que é impossível. Logo,
0_V \notin W.
Como a condição de conter o vetor zero falha, W não pode ser subespaço vetorial de V.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V, pois não contém o polinômio zero.

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