Exercício 1: Verifique se W é um subespaço vetorial de V :
W=\left\{a x^{2}+b x+(a+b) \mid a, b \in \mathbb{R}\right\} ;\quad V=P_{3}

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V = P_{3} (polinômios de grau <=3) e o subconjunto
W = \bigl\{\,a x^{2} + b x + (a+b)\mid a,b\in\mathbb{R}\bigr\}.
Para mostrar que W é subespaço de V precisamos checar três propriedades:
  1. W\neq\emptyset (contém o vetor zero),
  2. fechamento em soma,
  3. fechamento em produto por escalar.

Passo 2

Verificar que o polinômio zero pertence a W. Basta tomar a=0 e b=0. Então
p_{0}(x)=0\cdot x^{2}+0\cdot x+(0+0)=0,
logo 0\in W.

Passo 3

Fechamento em soma. Sejam
p(x)=a x^{2}+b x+(a+b)\in W \quad\text{e}\quad q(x)=c x^{2}+d x+(c+d)\in W.
Então
(p+q)(x)=(a+c)x^{2}+(b+d)x+\bigl((a+b)+(c+d)\bigr).
Como (a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d), definindo
a'=a+c,\quad b'=b+d
vemos que
(p+q)(x)=a'\,x^{2}+b'\,x+(a'+b'),
ou seja, p+q\in W.

Passo 4

Fechamento em escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e
p(x)=a x^{2}+b x+(a+b)\in W.
Então
(\alpha p)(x) =\alpha\bigl(a x^{2}+b x+(a+b)\bigr) =(\alpha a)x^{2}+(\alpha b)x+\alpha(a+b).
Mas \alpha(a+b)=\alpha a+\alpha b, logo se definirmos
a''=\alpha a,\quad b''=\alpha b
temos
(\alpha p)(x)=a''\,x^{2}+b''\,x+(a''+b''),
ou seja, \alpha p\in W.

Resposta

W é subespaço vetorial de V.

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