Exercício
Verifique se T(x, y)=(2 x-3 y, x+5 y)
é uma transformação linear.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão quer saber se a transformação T(x, y) = (2x - 3y, x + 5y) é uma transformação linear. Estamos falando de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver isso, a gente vai precisar verificar se a função T satisfaz duas propriedades fundamentais das transformações lineares: adição e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação T: R^n R^m é linear se, para quaisquer vetores u, v e qualquer escalar c , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. T(u + v) = T(u) + T(v) (Preserva a adição)
  2. T(cu) = cT(u) (Preserva a multiplicação por escalar)
Vamos testar essas duas propriedades para a transformação dada.

Passo 3

Verificando a propriedade de adição:
Vamos considerar dois vetores quaisquer u = (x1, y1) e v = (x2, y2) .
Primeiro, calculamos u + v = (x1 + x2, y1 + y2) .
Agora, aplicamos a transformação T em u + v :
T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (2(x1 + x2) - 3(y1 + y2), (x1 + x2) + 5(y1 + y2))
Simplificando:
= (2x1 + 2x2 - 3y1 - 3y2, x1 + x2 + 5y1 + 5y2)
Agora, vamos calcular T(u) + T(v) :
T(u) = (2x1 - 3y1, x1 + 5y1)
T(v) = (2x2 - 3y2, x2 + 5y2)
T(u) + T(v) = (2x1 - 3y1 + 2x2 - 3y2, x1 + 5y1 + x2 + 5y2)
= (2x1 + 2x2 - 3y1 - 3y2, x1 + x2 + 5y1 + 5y2)
Comparando os dois resultados, vemos que:
T(u + v) = T(u) + T(v)
Portanto, a transformação T preserva a adição.

Passo 4

Verificando a propriedade de multiplicação por escalar:
Vamos considerar um vetor qualquer u = (x, y) e um escalar c .
Primeiro, calculamos cu = (cx, cy) .
Agora, aplicamos a transformação T em cu :
T(cu) = T(cx, cy) = (2(cx) - 3(cy), cx + 5(cy))
Simplificando:
= (c(2x) - c(3y), c(x) + c(5y)) = c(2x - 3y, x + 5y)
= cT(u)
Portanto, a transformação T satisfaz:
T(cu) = cT(u)
Isso significa que T preserva a multiplicação por escalar.

Resposta

Como a transformação T(x, y) = (2x - 3y, x + 5y) preserva tanto a adição quanto a multiplicação por escalar, podemos concluir que T é uma transformação linear.

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