Exercício
Verifique se
é uma transformação linear.
Verifique se
é uma transformação linear.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão quer saber se a transformação
é uma transformação linear. Estamos falando de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver isso, a gente vai precisar verificar se a função
satisfaz duas propriedades fundamentais das transformações lineares: adição e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
-
(Preserva a adição) -
(Preserva a multiplicação por escalar)
Vamos testar essas duas propriedades para a transformação dada.
Passo 3
Verificando a propriedade de adição:
Vamos considerar dois vetores quaisquer
e
.
Primeiro, calculamos
.
Agora, aplicamos a transformação
em
:
Simplificando:
Agora, vamos calcular
:
Comparando os dois resultados, vemos que:
Portanto, a transformação
preserva a adição.
Passo 4
Verificando a propriedade de multiplicação por escalar:
Vamos considerar um vetor qualquer
e um escalar
.
Primeiro, calculamos
.
Agora, aplicamos a transformação
em
:
Simplificando:
Portanto, a transformação
satisfaz:
Isso significa que
preserva a multiplicação por escalar.
Resposta
Como a transformação
preserva tanto a adição quanto a multiplicação por escalar, podemos concluir que
é uma transformação linear.