Mostre que os autovetores associados a e formam uma base para . Esta base é chamada de base de autovetores do espaço. Calcule a matriz da transformação nesta nova base. O que podemos dizer sobre esta matriz?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que os autovetores associados aos valores próprios e formam uma base para a transformação . Além disso, temos que calcular a matriz dessa transformação nessa nova base e comentar sobre ela. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre autovetores, valores próprios, e mudança de base em matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um autovetor de uma transformação linear é um vetor não nulo tal que , onde é o valor próprio associado a esse autovetor. Se temos dois autovetores e associados a e respectivamente, e se , então esses autovetores são linearmente independentes. Isso significa que eles não são múltiplos um do outro e, portanto, podem formar uma base para o espaço.
Passo 3
Como e são linearmente independentes e existem dois deles, eles formam uma base para o espaço onde atua. Essa base especial é chamada de base de autovetores porque é composta exatamente pelos autovetores de .
Passo 4
Agora, vamos calcular a matriz de T nessa nova base. Para fazer isso, vamos ver como age sobre cada vetor da base:
Na base , essas relações se traduzem diretamente na matriz de . Cada coluna da matriz representa a imagem de um vetor da base, escrita em termos da própria base.
Passo 5
Assim, a matriz de na base de autovetores fica:
Passo 6
O que podemos dizer sobre essa matriz? Ela é uma matriz diagonal, ou seja, todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Isso significa que, na base de autovetores, a transformação T age de forma muito simples: cada vetor da base é apenas ampliado ou comprimido pelo seu respectivo valor próprio.
Resposta
Os autovetores v1, v2 formam uma base para T chamada base de autovetores. A matriz da transformação T nessa nova base é diagonal, dado por:
lambda1 & 0 0 & lambda2
Isso indica que a transformação T age de forma muito simples nessa base, escalando cada vetor da base pelos seus valores próprios correspondentes.