Mostre que os autovetores associados a lambda1 e lambda2 formam uma base v1, v2 para T. Esta base é chamada de base de autovetores do espaço. Calcule a matriz da transformação nesta nova base. O que podemos dizer sobre esta matriz?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que os autovetores associados aos valores próprios lambda1 e lambda2 formam uma base v1, v2 para a transformação T. Além disso, temos que calcular a matriz dessa transformação nessa nova base e comentar sobre ela. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre autovetores, valores próprios, e mudança de base em matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um autovetor de uma transformação linear T é um vetor não nulo v tal que T(v) = lambda v, onde lambda é o valor próprio associado a esse autovetor. Se temos dois autovetores v1 e v2 associados a lambda1 e lambda2 respectivamente, e se lambda1 neq lambda2, então esses autovetores são linearmente independentes. Isso significa que eles não são múltiplos um do outro e, portanto, podem formar uma base para o espaço.

Passo 3

Como v1 e v2 são linearmente independentes e existem dois deles, eles formam uma base v1, v2 para o espaço onde T atua. Essa base especial é chamada de base de autovetores porque é composta exatamente pelos autovetores de T.

Passo 4

Agora, vamos calcular a matriz de T nessa nova base v1, v2. Para fazer isso, vamos ver como T age sobre cada vetor da base:
T(v1) = lambda1 v1
T(v2) = lambda2 v2
Na base v1, v2, essas relações se traduzem diretamente na matriz de T. Cada coluna da matriz representa a imagem de um vetor da base, escrita em termos da própria base.

Passo 5

Assim, a matriz de T na base de autovetores v1, v2 fica:
lambda1 & 0 0 & lambda2

Passo 6

O que podemos dizer sobre essa matriz? Ela é uma matriz diagonal, ou seja, todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Isso significa que, na base de autovetores, a transformação T age de forma muito simples: cada vetor da base é apenas ampliado ou comprimido pelo seu respectivo valor próprio.

Resposta

Os autovetores v1, v2 formam uma base para T chamada base de autovetores. A matriz da transformação T nessa nova base é diagonal, dado por:
lambda1 & 0 0 & lambda2
Isso indica que a transformação T age de forma muito simples nessa base, escalando cada vetor da base pelos seus valores próprios correspondentes.

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